sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -\sqrt{15+x^{2}} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{25-x^{2}} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 25-x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{15+x^{2}} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 15+x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

31 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 15 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 31+x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

31+x^{2} ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 25 ଏବଂ 31 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-2x^{2} ପାଇବାକୁ -x^{2} ଏବଂ -x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(-6-2x^{2}\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 4 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 ର 8 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 64 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{15+x^{2}} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 15+x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

64 କୁ 15+x^{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 960 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

-924 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 36 ଏବଂ 960 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 64x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

-40x^{2} ପାଇବାକୁ 24x^{2} ଏବଂ -64x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2} ସ୍ଥାନରେ t ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

ଫର୍ମ ax^{2}+bx+c=0 ଠାରୁ ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲା ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. a ପାଇଁ 4, b ପାଇଁ -40, ଏବଂ c ପାଇଁ -924 କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲାରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

ହିସାବଗୁଡିକ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

± ଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ଏବଂ ± ବିଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ସମୀକରଣ t=\frac{40±128}{8} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$t=21 t=-11$$

x=t^{2} ପର ଠାରୁ, ସମାଧାନଗୁଡିକ ପ୍ରତି t ପାଇଁ x=±\sqrt{t} ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇଛି.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

ସମୀକରଣ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -\sqrt{21} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. x=-\sqrt{21} ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ କାରଣ ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ଥାଏ.

$$-4=4$$

ସମୀକରଣ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \sqrt{21} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. x=\sqrt{21} ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ କାରଣ ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ଥାଏ.

$$-4=4$$

ସମୀକରଣ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -\sqrt{11}i ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=-\sqrt{11}i ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$4=4$$

ସମୀକରଣ \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \sqrt{11}i ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=\sqrt{11}i ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$4=4$$

\sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 ର ସମସ୍ତ ସମାଧାନ ତାଲିକା.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$