quad11x-1=22x^2-3x(2x-1) କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\quad 11 x - 1 = 22 x ^ { 2 } - 3 x ( 2 x - 1 )$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3x\left(2x-1\right) ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$11x-1+3x\left(2x-1\right)=22x^{2}$$

3x କୁ 2x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$11x-1+6x^{2}-3x=22x^{2}$$

8x ପାଇବାକୁ 11x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}=22x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 22x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}-22x^{2}=0$$

-16x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ -22x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1-16x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-16x^{2}+8x-1=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -16x^{2}+ax+bx-1 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=8 ab=-16\left(-1\right)=16$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 16 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,16 2,8 4,4$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 8 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=4 b=4$$

\left(-16x^{2}+4x\right)+\left(4x-1\right) ଭାବରେ -16x^{2}+8x-1 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-16x^{2}+4x\right)+\left(4x-1\right)$$

-16x^{2}+4xରେ -4x ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-4x\left(4x-1\right)+4x-1$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ 4x-1 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(4x-1\right)\left(-4x+1\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, 4x-1=0 ଏବଂ -4x+1=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{4}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3x\left(2x-1\right) ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$11x-1+3x\left(2x-1\right)=22x^{2}$$

3x କୁ 2x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$11x-1+6x^{2}-3x=22x^{2}$$

8x ପାଇବାକୁ 11x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}=22x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 22x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}-22x^{2}=0$$

-16x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ -22x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1-16x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-16x^{2}+8x-1=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -16, b ପାଇଁ 8, ଏବଂ c ପାଇଁ -1 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-16\right)\left(-1\right)}}{2\left(-16\right)}$$

ବର୍ଗ 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-16\right)\left(-1\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 କୁ -16 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+64\left(-1\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64}}{2\left(-16\right)}$$

64 କୁ -64 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8±\sqrt{0}}{2\left(-16\right)}$$

0 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{8}{2\left(-16\right)}$$

2 କୁ -16 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{8}{-32}$$

8 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-8}{-32} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 3x\left(2x-1\right) ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$11x-1+3x\left(2x-1\right)=22x^{2}$$

3x କୁ 2x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$11x-1+6x^{2}-3x=22x^{2}$$

8x ପାଇବାକୁ 11x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}=22x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 22x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1+6x^{2}-22x^{2}=0$$

-16x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ -22x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-1-16x^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 1 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$8x-16x^{2}=1$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-16x^{2}+8x=1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-16x^{2}+8x}{-16}=\frac{1}{-16}$$

-16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{8}{-16}x=\frac{1}{-16}$$

8 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{8}{-16} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{-16}$$

1 କୁ -16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{16}$$

-\frac{1}{4} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{1}{2} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{1}{4} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{1}{4} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{-1+1}{16}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{16} ସହିତ -\frac{1}{16} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=0$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{1}{4}=0 x-\frac{1}{4}=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି. ସମାଧାନଗୁଡିକ ସମାନ ଅଛି.

$$x=\frac{1}{4}$$