{l}{x^2/16-y^2/25=1}{125x-48y=481} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 25 } = 1 }\\{ 125 x - 48 y = 481 }\end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 4.015124774\text{, }y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 0.435220767$$

$$x=\frac{108\sqrt{481}}{2405}+5\approx 5.984875226\text{, }y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\approx 5.564779233$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 400 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 16,25 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$25x^{2}-16y^{2}=400$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$125x-48y=481,-16y^{2}+25x^{2}=400$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ 125x-48y=481 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$125x-48y=481$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -48y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$125x=48y+481$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 125 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -16y^{2}+25x^{2}=400 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{48}{125}y+\frac{481}{125} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{48}{125}y+\frac{481}{125}\right)^{2}=400$$

ବର୍ଗ \frac{48}{125}y+\frac{481}{125}.

$$-16y^{2}+25\left(\frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625}\right)=400$$

25 କୁ \frac{2304}{15625}y^{2}+\frac{46176}{15625}y+\frac{231361}{15625} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-16y^{2}+\frac{2304}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

-16y^{2} କୁ \frac{2304}{625}y^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y+\frac{231361}{625}=400$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 400 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{7696}{625}y^{2}+\frac{46176}{625}y-\frac{18639}{625}=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2}, b ପାଇଁ 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2, ଏବଂ c ପାଇଁ -\frac{18639}{625} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\left(\frac{46176}{625}\right)^{2}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

ବର୍ଗ 25\times \frac{481}{125}\times \frac{48}{125}\times 2.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}-4\left(-\frac{7696}{625}\right)\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

-4 କୁ -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976}{390625}+\frac{30784}{625}\left(-\frac{18639}{625}\right)}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{30784}{625} କୁ -\frac{18639}{625} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2132222976-573782976}{390625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{573782976}{390625} ସହିତ \frac{2132222976}{390625} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\sqrt{\frac{2493504}{625}}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

\frac{2493504}{625} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{2\left(-\frac{7696}{625}\right)}$$

2 କୁ -16+25\times \left(\frac{48}{125}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -\frac{46176}{625} କୁ \frac{72\sqrt{481}}{25} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

-\frac{15392}{625} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା -\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25} କୁ ଗୁଣନ କରି -\frac{46176}{625}+\frac{72\sqrt{481}}{25} କୁ -\frac{15392}{625} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-\frac{46176}{625}±\frac{72\sqrt{481}}{25}}{-\frac{15392}{625}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -\frac{46176}{625} ରୁ \frac{72\sqrt{481}}{25} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{72\sqrt{481}}{25}-\frac{46176}{625}}{-\frac{15392}{625}}$$

-\frac{15392}{625} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା -\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25} କୁ ଗୁଣନ କରି -\frac{46176}{625}-\frac{72\sqrt{481}}{25} କୁ -\frac{15392}{625} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$

y ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} ଏବଂ 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924}. ସମୀକରଣ x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} ରେ y ସ୍ଥାନରେ 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=\frac{48}{125}\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

\frac{48}{125} କୁ 3-\frac{225\sqrt{481}}{1924} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{48}{125}y+\frac{481}{125} ରେ 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924} ସ୍ଥାନରେ y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=\frac{48}{125}\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+\frac{481}{125}$$

\frac{48}{125} କୁ 3+\frac{225\sqrt{481}}{1924} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{48\left(-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=-\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\text{ or }x=\frac{48\left(\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3\right)+481}{125},y=\frac{225\sqrt{481}}{1924}+3$$