{r}{2(x+2y)+3(3x-y)=38}{4(3x+2y)-3(x+5y)=-8} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { r } { 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 3 x - y ) = 38 } \\ { 4 ( 3 x + 2 y ) - 3 ( x + 5 y ) = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=3$$

$$y=5$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+4y-3y=38$$

y ପାଇବାକୁ 4y ଏବଂ -3y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 3x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 କୁ x+5y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y ପାଇବାକୁ 8y ଏବଂ -15y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x-7y=-8$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$11x=-y+38$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{11}\left(-y+38\right)$$

\frac{1}{11} କୁ -y+38 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 9x-7y=-8 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-y+38}{11} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$9\left(-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}\right)-7y=-8$$

9 କୁ \frac{-y+38}{11} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{9}{11}y+\frac{342}{11}-7y=-8$$

-\frac{9y}{11} କୁ -7y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{86}{11}y+\frac{342}{11}=-8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{342}{11} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{86}{11}y=-\frac{430}{11}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{86}{11} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11} ରେ y ପାଇଁ 5 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-\frac{1}{11}\times 5+\frac{38}{11}$$

-\frac{1}{11} କୁ 5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-5+38}{11}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{5}{11} ସହିତ \frac{38}{11} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=3,y=5$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+4y-3y=38$$

y ପାଇବାକୁ 4y ଏବଂ -3y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 3x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 କୁ x+5y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y ପାଇବାକୁ 8y ଏବଂ -15y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x-7y=-8$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11\left(-7\right)-9}&-\frac{1}{11\left(-7\right)-9}\\-\frac{9}{11\left(-7\right)-9}&\frac{11}{11\left(-7\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}&\frac{1}{86}\\\frac{9}{86}&-\frac{11}{86}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}\times 38+\frac{1}{86}\left(-8\right)\\\frac{9}{86}\times 38-\frac{11}{86}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=3,y=5$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ 9x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+4y-3y=38$$

y ପାଇବାକୁ 4y ଏବଂ -3y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$11x+y=38$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 3x+2y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 କୁ x+5y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -3x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y ପାଇବାକୁ 8y ଏବଂ -15y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$9x-7y=-8$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

11x ଏବଂ 9x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 9 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 11 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$9\times 11x+9y=9\times 38,11\times 9x+11\left(-7\right)y=11\left(-8\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$99x+9y=342,99x-77y=-88$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 99x+9y=342 ଠାରୁ 99x-77y=-88 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$99x-99x+9y+77y=342+88$$

99x କୁ -99x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 99x ଏବଂ -99x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$9y+77y=342+88$$

9y କୁ 77y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$86y=342+88$$

342 କୁ 88 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$86y=430$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 86 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=5$$

9x-7y=-8 ରେ y ପାଇଁ 5 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$9x-7\times 5=-8$$

-7 କୁ 5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$9x-35=-8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 35 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$9x=27$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=3,y=5$$