{l}{y=2/-7x+3468}{y=7/2x-248} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { - 7 } x + 3468 } \\ { y = \frac { 7 } { 2 } x - 248 } \end{array} \right.$$

y, x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{52024}{53} = 981\frac{31}{53} \approx 981.58490566$$

$$y = \frac{168940}{53} = 3187\frac{29}{53} \approx 3187.547169811$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ କାଢିଦେବା ଦ୍ୱାରା ଭଗ୍ନାଂଶ \frac{2}{-7} କୁ -\frac{2}{7} ଭାବେ ପୁଣି ଲେଖାଯାଇପାରିବ.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y-\frac{7}{2}x=-248 ରେ y ସ୍ଥାନରେ -\frac{2x}{7}+3468 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{2}{7}x+3468-\frac{7}{2}x=-248$$

-\frac{2x}{7} କୁ -\frac{7x}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{53}{14}x+3468=-248$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3468 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{53}{14}x=-3716$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{53}{14} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=\frac{52024}{53}$$

y=-\frac{2}{7}x+3468 ରେ x ପାଇଁ \frac{52024}{53} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=-\frac{2}{7}\times \frac{52024}{53}+3468$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{2}{7} କୁ \frac{52024}{53} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=-\frac{14864}{53}+3468$$

3468 କୁ -\frac{14864}{53} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{168940}{53}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ କାଢିଦେବା ଦ୍ୱାରା ଭଗ୍ନାଂଶ \frac{2}{-7} କୁ -\frac{2}{7} ଭାବେ ପୁଣି ଲେଖାଯାଇପାରିବ.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ \frac{2}{7}x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y+\frac{2}{7}x=3468$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{7}{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{7}{2}x=-248$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+\frac{2}{7}x=3468,y-\frac{7}{2}x=-248$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{7}\\1&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{2}}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}&-\frac{\frac{2}{7}}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}\\-\frac{1}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}&\frac{1}{-\frac{7}{2}-\frac{2}{7}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{53}&\frac{4}{53}\\\frac{14}{53}&-\frac{14}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3468\\-248\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{53}\times 3468+\frac{4}{53}\left(-248\right)\\\frac{14}{53}\times 3468-\frac{14}{53}\left(-248\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168940}{53}\\\frac{52024}{53}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନକୁ କାଢିଦେବା ଦ୍ୱାରା ଭଗ୍ନାଂଶ \frac{2}{-7} କୁ -\frac{2}{7} ଭାବେ ପୁଣି ଲେଖାଯାଇପାରିବ.

$$y=-\frac{2}{7}x+3468$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ \frac{2}{7}x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y+\frac{2}{7}x=3468$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{7}{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{7}{2}x=-248$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y+\frac{2}{7}x=3468,y-\frac{7}{2}x=-248$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y+\frac{2}{7}x=3468 ଠାରୁ y-\frac{7}{2}x=-248 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-y+\frac{2}{7}x+\frac{7}{2}x=3468+248$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\frac{2}{7}x+\frac{7}{2}x=3468+248$$

\frac{2x}{7} କୁ \frac{7x}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{53}{14}x=3468+248$$

3468 କୁ 248 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{53}{14}x=3716$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{53}{14} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=\frac{52024}{53}$$

y-\frac{7}{2}x=-248 ରେ x ପାଇଁ \frac{52024}{53} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y-\frac{7}{2}\times \frac{52024}{53}=-248$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{7}{2} କୁ \frac{52024}{53} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y-\frac{182084}{53}=-248$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{182084}{53} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{168940}{53}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{168940}{53},x=\frac{52024}{53}$$