{l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=3$$

$$y=2$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{4}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{x}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y-\frac{4}{3}x=-2 ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{x}{3}+1 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

\frac{x}{3} କୁ -\frac{4x}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-x+1=-2$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x=-3$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3$$

y=\frac{1}{3}x+1 ରେ x ପାଇଁ 3 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

\frac{1}{3} କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=1+1$$

1 କୁ 1 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=2$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=2,x=3$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{4}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=2,x=3$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{4}{3}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y-\frac{1}{3}x=1 ଠାରୁ y-\frac{4}{3}x=-2 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

-\frac{x}{3} କୁ \frac{4x}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=1+2$$

1 କୁ 2 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=3$$

y-\frac{4}{3}x=-2 ରେ x ପାଇଁ 3 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

-\frac{4}{3} କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y-4=-2$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=2$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=2,x=3$$