{l}{I_{1}(4+6+5)-I_{2}*6-12=0}{-I_{1}*6+I_{2}*12=0} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { I _ { 1 } ( 4 + 6 + 5 ) - I _ { 2 } \times 6 - 12 = 0 } \\ { - I _ { 1 } \times 6 + I _ { 2 } \times 12 = 0 } \end{array} \right.$$

I_1, I_2 ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$I_{1}=1$$

$$I_{2}=\frac{1}{2}=0.5$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 6 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\left(10+5\right)-I_{2}\times 6-12=0$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6-12=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 12 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6=12$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-6I_{2}=12$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-6I_{1}+I_{2}\times 12=0$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$15I_{1}-6I_{2}=12,-6I_{1}+12I_{2}=0$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ I_{1} କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା I_{1} ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$15I_{1}-6I_{2}=12$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 6I_{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$15I_{1}=6I_{2}+12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}=\frac{1}{15}\left(6I_{2}+12\right)$$

\frac{1}{15} କୁ 12+6I_{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}=\frac{2}{5}I_{2}+\frac{4}{5}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -6I_{1}+12I_{2}=0 ରେ I_{1} ସ୍ଥାନରେ \frac{4+2I_{2}}{5} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-6\left(\frac{2}{5}I_{2}+\frac{4}{5}\right)+12I_{2}=0$$

-6 କୁ \frac{4+2I_{2}}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{12}{5}I_{2}-\frac{24}{5}+12I_{2}=0$$

-\frac{12I_{2}}{5} କୁ 12I_{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{48}{5}I_{2}-\frac{24}{5}=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{24}{5} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{48}{5}I_{2}=\frac{24}{5}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{48}{5} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$I_{2}=\frac{1}{2}$$

I_{1}=\frac{2}{5}I_{2}+\frac{4}{5} ରେ I_{2} ପାଇଁ \frac{1}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ I_{1} ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$I_{1}=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{4}{5}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{2}{5} କୁ \frac{1}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$I_{1}=\frac{1+4}{5}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{5} ସହିତ \frac{4}{5} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$I_{1}=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$I_{1}=1,I_{2}=\frac{1}{2}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 6 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\left(10+5\right)-I_{2}\times 6-12=0$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6-12=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 12 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6=12$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-6I_{2}=12$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-6I_{1}+I_{2}\times 12=0$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15I_{1}-6I_{2}=12,-6I_{1}+12I_{2}=0$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-6\\-6&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{15\times 12-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{15\times 12-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{15\times 12-\left(-6\left(-6\right)\right)}&\frac{15}{15\times 12-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{5}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 12\\\frac{1}{24}\times 12\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}I_{1}\\I_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ I_{1} ଏବଂ I_{2} ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}=1,I_{2}=\frac{1}{2}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 10 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 6 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\left(10+5\right)-I_{2}\times 6-12=0$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6-12=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 12 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$I_{1}\times 15-I_{2}\times 6=12$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}\times 15-6I_{2}=12$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 6 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-6I_{1}+I_{2}\times 12=0$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$15I_{1}-6I_{2}=12,-6I_{1}+12I_{2}=0$$

15I_{1} ଏବଂ -6I_{1} କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-6\times 15I_{1}-6\left(-6\right)I_{2}=-6\times 12,15\left(-6\right)I_{1}+15\times 12I_{2}=0$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-90I_{1}+36I_{2}=-72,-90I_{1}+180I_{2}=0$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -90I_{1}+36I_{2}=-72 ଠାରୁ -90I_{1}+180I_{2}=0 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-90I_{1}+90I_{1}+36I_{2}-180I_{2}=-72$$

-90I_{1} କୁ 90I_{1} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -90I_{1} ଏବଂ 90I_{1} ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$36I_{2}-180I_{2}=-72$$

36I_{2} କୁ -180I_{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-144I_{2}=-72$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -144 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{2}=\frac{1}{2}$$

-6I_{1}+12I_{2}=0 ରେ I_{2} ପାଇଁ \frac{1}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ I_{1} ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-6I_{1}+12\times \frac{1}{2}=0$$

12 କୁ \frac{1}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-6I_{1}+6=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-6I_{1}=-6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$I_{1}=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$I_{1}=1,I_{2}=\frac{1}{2}$$