{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 8 କୁ Y-\frac{1}{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 କୁ X+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 9X ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4-9X=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=9$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ X କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା X ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4Y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2} କୁ -4Y+\frac{5}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -9X+8Y=9 ରେ X ସ୍ଥାନରେ -2Y+\frac{5}{4} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9 କୁ -2Y+\frac{5}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

18Y କୁ 8Y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{45}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 26 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4} ରେ Y ପାଇଁ \frac{81}{104} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ X ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2 କୁ \frac{81}{104} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{81}{52} ସହିତ \frac{5}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$X=-\frac{4}{13}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 8 କୁ Y-\frac{1}{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 କୁ X+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 9X ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4-9X=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=9$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ X ଏବଂ Y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 8 କୁ Y-\frac{1}{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 କୁ X+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 9 ଏବଂ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4=9X+5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 9X ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-4-9X=5$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=5+4$$

9 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8Y-9X=9$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X ଏବଂ -9X କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -9 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -18X-36Y=-\frac{45}{2} ଠାରୁ -18X+16Y=18 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18X କୁ 18X ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -18X ଏବଂ 18X ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-36Y କୁ -16Y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2} କୁ -18 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -52 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9 ରେ Y ପାଇଁ \frac{81}{104} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ X ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8 କୁ \frac{81}{104} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{81}{13} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$X=-\frac{4}{13}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$