{l}{10=30a+44b}{3=40a+55b} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { 10 = 30 a + 44 b } \\ { 3 = 40 a + 55 b } \end{array} \right.$$

a, b ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a = -\frac{19}{5} = -3\frac{4}{5} = -3.8$$

$$b = \frac{31}{11} = 2\frac{9}{11} \approx 2.818181818$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30a+44b=10$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$40a+55b=3$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ a କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା a ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$30a+44b=10$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 44b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$30a=-44b+10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{1}{30}\left(-44b+10\right)$$

\frac{1}{30} କୁ -44b+10 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 40a+55b=3 ରେ a ସ୍ଥାନରେ -\frac{22b}{15}+\frac{1}{3} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$40\left(-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3}\right)+55b=3$$

40 କୁ -\frac{22b}{15}+\frac{1}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{176}{3}b+\frac{40}{3}+55b=3$$

-\frac{176b}{3} କୁ 55b ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{11}{3}b+\frac{40}{3}=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{40}{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{11}{3}b=-\frac{31}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{11}{3} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$b=\frac{31}{11}$$

a=-\frac{22}{15}b+\frac{1}{3} ରେ b ପାଇଁ \frac{31}{11} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ a ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$a=-\frac{22}{15}\times \frac{31}{11}+\frac{1}{3}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{22}{15} କୁ \frac{31}{11} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$a=-\frac{62}{15}+\frac{1}{3}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{62}{15} ସହିତ \frac{1}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$a=-\frac{19}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30a+44b=10$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$40a+55b=3$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&44\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{30\times 55-44\times 40}&-\frac{44}{30\times 55-44\times 40}\\-\frac{40}{30\times 55-44\times 40}&\frac{30}{30\times 55-44\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 10+\frac{2}{5}\times 3\\\frac{4}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{5}\\\frac{31}{11}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ a ଏବଂ b ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$30a+44b=10$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$40a+55b=3$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$30a+44b=10,40a+55b=3$$

30a ଏବଂ 40a କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 40 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 30 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$40\times 30a+40\times 44b=40\times 10,30\times 40a+30\times 55b=30\times 3$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$1200a+1760b=400,1200a+1650b=90$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 1200a+1760b=400 ଠାରୁ 1200a+1650b=90 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1200a-1200a+1760b-1650b=400-90$$

1200a କୁ -1200a ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 1200a ଏବଂ -1200a ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$1760b-1650b=400-90$$

1760b କୁ -1650b ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$110b=400-90$$

400 କୁ -90 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$110b=310$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 110 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{31}{11}$$

40a+55b=3 ରେ b ପାଇଁ \frac{31}{11} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ a ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$40a+55\times \frac{31}{11}=3$$

55 କୁ \frac{31}{11} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$40a+155=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 155 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$40a=-152$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 40 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{19}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=-\frac{19}{5},b=\frac{31}{11}$$