{l}{-2x+y=71+2x}{9x+1y=-14} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + y = 71 + 2 x } \\ { 9 x + 1 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{85}{13} = -6\frac{7}{13} \approx -6.538461538$$

$$y = \frac{583}{13} = 44\frac{11}{13} \approx 44.846153846$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x+y-2x=71$$

-4x ପାଇବାକୁ -2x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$9x+y=-14$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-4x=-y+71$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+71\right)$$

-\frac{1}{4} କୁ -y+71 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 9x+y=-14 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-71+y}{4} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$9\left(\frac{1}{4}y-\frac{71}{4}\right)+y=-14$$

9 କୁ \frac{-71+y}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{9}{4}y-\frac{639}{4}+y=-14$$

\frac{9y}{4} କୁ y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{13}{4}y-\frac{639}{4}=-14$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{639}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{13}{4}y=\frac{583}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{13}{4} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=\frac{583}{13}$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{71}{4} ରେ y ପାଇଁ \frac{583}{13} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{583}{13}-\frac{71}{4}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{4} କୁ \frac{583}{13} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=\frac{583}{52}-\frac{71}{4}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{583}{52} ସହିତ -\frac{71}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=-\frac{85}{13}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x+y-2x=71$$

-4x ପାଇବାକୁ -2x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$9x+y=-14$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-9}&-\frac{1}{-4-9}\\-\frac{9}{-4-9}&-\frac{4}{-4-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{9}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\-14\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 71+\frac{1}{13}\left(-14\right)\\\frac{9}{13}\times 71+\frac{4}{13}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{85}{13}\\\frac{583}{13}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x+y-2x=71$$

-4x ପାଇବାକୁ -2x ଏବଂ -2x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-4x+y=71$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପଦଗୁଡିକୁ ପୁନଃକ୍ରମରେ ରଖନ୍ତୁ.

$$9x+y=-14$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-4x+y=71,9x+y=-14$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -4x+y=71 ଠାରୁ 9x+y=-14 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-4x-9x+y-y=71+14$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-4x-9x=71+14$$

-4x କୁ -9x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-13x=71+14$$

71 କୁ 14 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-13x=85$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -13 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{85}{13}$$

9x+y=-14 ରେ x ପାଇଁ -\frac{85}{13} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$9\left(-\frac{85}{13}\right)+y=-14$$

9 କୁ -\frac{85}{13} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{765}{13}+y=-14$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{765}{13} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{583}{13}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{85}{13},y=\frac{583}{13}$$