{l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ab ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, a,b ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-2x=6$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ y-2x=6 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y-2x=6$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -2x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=2x+6$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, bx^{2}+ay^{2}=ab ରେ y ସ୍ଥାନରେ 2x+6 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

ବର୍ଗ 2x+6.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

a କୁ 4x^{2}+24x+36 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

bx^{2} କୁ 4ax^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ab ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ b+a\times 2^{2}, b ପାଇଁ a\times 6\times 2\times 2, ଏବଂ c ପାଇଁ a\left(36-b\right) ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

ବର୍ଗ a\times 6\times 2\times 2.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4 କୁ b+a\times 2^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4b-16a କୁ a\left(36-b\right) ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

576a^{2} କୁ -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right) ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

4ab\left(-36+4a+b\right) ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

2 କୁ b+a\times 2^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -24a କୁ 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} କୁ 2b+8a ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -24a ରୁ 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} କୁ 2b+8a ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} ଏବଂ -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. ସମୀକରଣ y=2x+6 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=2x+6 ରେ -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} ସ୍ଥାନରେ x ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$