{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 36 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 9,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ 3x+4y=1 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+4y=1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x=-4y+1$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 9y^{2}+4x^{2}=36 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

ବର୍ଗ -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4 କୁ \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

9y^{2} କୁ \frac{64}{9}y^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 36 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b ପାଇଁ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2, ଏବଂ c ପାଇଁ -\frac{320}{9} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ବର୍ଗ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4 କୁ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{580}{9} କୁ -\frac{320}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{185600}{81} ସହିତ \frac{1024}{81} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2 କୁ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. \frac{32}{9} କୁ 48 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା \frac{464}{9} କୁ ଗୁଣନ କରି \frac{464}{9} କୁ \frac{290}{9} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{8}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. \frac{32}{9} ରୁ 48 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା -\frac{400}{9} କୁ ଗୁଣନ କରି -\frac{400}{9} କୁ \frac{290}{9} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{8}{5} ଏବଂ -\frac{40}{29}. ସମୀକରଣ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{8}{5} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{4}{3} କୁ \frac{8}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} କୁ \frac{1}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ରେ -\frac{40}{29} ସ୍ଥାନରେ y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{4}{3} କୁ -\frac{40}{29} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

-\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) କୁ \frac{1}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{63}{29}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$