{l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=58$$

$$y=-23$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

3 କୁ x+1y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

2 କୁ y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y ପାଇବାକୁ 3y ଏବଂ 2y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -3 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-5=54$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x+5y=54+5$$

59 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 54 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

2 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

3 କୁ y+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 3 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+1+3y=48$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=48-1$$

47 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 48 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=47$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x=-5y+59$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

\frac{1}{3} କୁ -5y+59 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 2x+3y=47 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-5y+59}{3} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

2 କୁ \frac{-5y+59}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

-\frac{10y}{3} କୁ 3y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{118}{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-23$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3} ରେ y ପାଇଁ -23 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

-\frac{5}{3} କୁ -23 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{115}{3} ସହିତ \frac{59}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=58$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=58,y=-23$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

3 କୁ x+1y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

2 କୁ y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y ପାଇବାକୁ 3y ଏବଂ 2y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -3 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-5=54$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x+5y=54+5$$

59 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 54 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

2 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

3 କୁ y+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 3 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+1+3y=48$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=48-1$$

47 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 48 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=47$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=58,y=-23$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 2,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

3 କୁ x+1y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

2 କୁ y-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5y ପାଇବାକୁ 3y ଏବଂ 2y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -3 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y-5=54$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3x+5y=54+5$$

59 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 54 ଏବଂ 5 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x+5y=59$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

2 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

3 କୁ y+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-2+3y+3=48$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2 ଏବଂ 3 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+1+3y=48$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=48-1$$

47 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 48 ଏବଂ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+3y=47$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

3x ଏବଂ 2x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 6x+10y=118 ଠାରୁ 6x+9y=141 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

6x କୁ -6x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 6x ଏବଂ -6x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$10y-9y=118-141$$

10y କୁ -9y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=118-141$$

118 କୁ -141 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=-23$$

2x+3y=47 ରେ y ପାଇଁ -23 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

3 କୁ -23 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x-69=47$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 69 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2x=116$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=58$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=58,y=-23$$