{c}{x+y=500}{8000x+13500y=4962500} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 8000 x + 13500 y = 4962500 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=325$$

$$y=175$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=500$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-y+500$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 8000x+13500y=4962500 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -y+500 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$8000\left(-y+500\right)+13500y=4962500$$

8000 କୁ -y+500 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-8000y+4000000+13500y=4962500$$

-8000y କୁ 13500y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$5500y+4000000=4962500$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4000000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$5500y=962500$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5500 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=175$$

x=-y+500 ରେ y ପାଇଁ 175 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-175+500$$

500 କୁ -175 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=325$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=325,y=175$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\8000&13500\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13500}{13500-8000}&-\frac{1}{13500-8000}\\-\frac{8000}{13500-8000}&\frac{1}{13500-8000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}&-\frac{1}{5500}\\-\frac{16}{11}&\frac{1}{5500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\4962500\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}\times 500-\frac{1}{5500}\times 4962500\\-\frac{16}{11}\times 500+\frac{1}{5500}\times 4962500\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}325\\175\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=325,y=175$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$x+y=500,8000x+13500y=4962500$$

x ଏବଂ 8000x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 8000 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$8000x+8000y=8000\times 500,8000x+13500y=4962500$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$8000x+8000y=4000000,8000x+13500y=4962500$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 8000x+8000y=4000000 ଠାରୁ 8000x+13500y=4962500 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8000x-8000x+8000y-13500y=4000000-4962500$$

8000x କୁ -8000x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 8000x ଏବଂ -8000x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$8000y-13500y=4000000-4962500$$

8000y କୁ -13500y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-5500y=4000000-4962500$$

4000000 କୁ -4962500 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-5500y=-962500$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -5500 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=175$$

8000x+13500y=4962500 ରେ y ପାଇଁ 175 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$8000x+13500\times 175=4962500$$

13500 କୁ 175 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$8000x+2362500=4962500$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2362500 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8000x=2600000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 8000 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=325$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=325,y=175$$