{c}{14x-8y=15}{70x-32y=67} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { c } { 14 x - 8 y = 15 } \\ { 70 x - 32 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-1$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$14x-8y=15$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 8y ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$14x=8y+15$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{14}\left(8y+15\right)$$

\frac{1}{14} କୁ 8y+15 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{15}{14}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 70x-32y=67 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{4y}{7}+\frac{15}{14} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$70\left(\frac{4}{7}y+\frac{15}{14}\right)-32y=67$$

70 କୁ \frac{4y}{7}+\frac{15}{14} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$40y+75-32y=67$$

40y କୁ -32y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$8y+75=67$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 75 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$8y=-8$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-1$$

x=\frac{4}{7}y+\frac{15}{14} ରେ y ପାଇଁ -1 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=\frac{4}{7}\left(-1\right)+\frac{15}{14}$$

\frac{4}{7} କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{4}{7}+\frac{15}{14}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{4}{7} ସହିତ \frac{15}{14} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=\frac{1}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}&-\frac{-8}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}\\-\frac{70}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}&\frac{14}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 15+\frac{1}{14}\times 67\\-\frac{5}{8}\times 15+\frac{1}{8}\times 67\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

14x ଏବଂ 70x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 70 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 14 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$70\times 14x+70\left(-8\right)y=70\times 15,14\times 70x+14\left(-32\right)y=14\times 67$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$980x-560y=1050,980x-448y=938$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 980x-560y=1050 ଠାରୁ 980x-448y=938 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$980x-980x-560y+448y=1050-938$$

980x କୁ -980x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 980x ଏବଂ -980x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-560y+448y=1050-938$$

-560y କୁ 448y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-112y=1050-938$$

1050 କୁ -938 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-112y=112$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -112 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-1$$

70x-32y=67 ରେ y ପାଇଁ -1 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$70x-32\left(-1\right)=67$$

-32 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$70x+32=67$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 32 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$70x=35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 70 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$