{l}{x=60t}{255-x=110t} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x = 60 t }\\{ 255 - x = 110 t }\end{array} \right.$$

x, t ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=90$$

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 60t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 110t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$255-x-110t=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 255 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-x-110t=-255$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0,-x-110t=-255$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 60t ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=60t$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -x-110t=-255 ରେ x ସ୍ଥାନରେ 60t ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-60t-110t=-255$$

-60t କୁ -110t ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-170t=-255$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -170 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{3}{2}$$

x=60t ରେ t ପାଇଁ \frac{3}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=60\times \frac{3}{2}$$

60 କୁ \frac{3}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=90$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=90,t=\frac{3}{2}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 60t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 110t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$255-x-110t=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 255 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-x-110t=-255$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0,-x-110t=-255$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-60\\-1&-110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{110}{-110-\left(-60\left(-1\right)\right)}&-\frac{-60}{-110-\left(-60\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-110-\left(-60\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-110-\left(-60\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{1}{170}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-255\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{17}\left(-255\right)\\-\frac{1}{170}\left(-255\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ t ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=90,t=\frac{3}{2}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 60t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x-60t=0$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 110t ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$255-x-110t=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 255 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-x-110t=-255$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$x-60t=0,-x-110t=-255$$

x ଏବଂ -x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-x-\left(-60t\right)=0,-x-110t=-255$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-x+60t=0,-x-110t=-255$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -x+60t=0 ଠାରୁ -x-110t=-255 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x+x+60t+110t=255$$

-x କୁ x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -x ଏବଂ x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$60t+110t=255$$

60t କୁ 110t ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$170t=255$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 170 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$t=\frac{3}{2}$$

-x-110t=-255 ରେ t ପାଇଁ \frac{3}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-x-110\times \frac{3}{2}=-255$$

-110 କୁ \frac{3}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-x-165=-255$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 165 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-x=-90$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=90$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=90,t=\frac{3}{2}$$