{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ kx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-kx=b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ y+\left(-k\right)x=b ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \left(-k\right)x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=kx+b$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, x^{2}+4y^{2}=4 ରେ y ସ୍ଥାନରେ kx+b ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

ବର୍ଗ kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 କୁ k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

x^{2} କୁ 4k^{2}x^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1+4k^{2}, b ପାଇଁ 4\times 2kb, ଏବଂ c ପାଇଁ -4+4b^{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

ବର୍ଗ 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 କୁ 1+4k^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} କୁ -4+4b^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

64k^{2}b^{2} କୁ -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 କୁ 1+4k^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8kb କୁ 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} କୁ 2+8k^{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8kb ରୁ 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} କୁ 2+8k^{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ଏବଂ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. ସମୀକରଣ y=kx+b ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k କୁ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=kx+b ରେ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ସ୍ଥାନରେ x ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k କୁ -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$