{l}{y=9/4x+53/6}{y=8/5x+20/3} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 9 } { 4 } x + \frac { 53 } { 6 } } \\ { y = \frac { 8 } { 5 } x + \frac { 20 } { 3 } } \end{array} \right.$$

y, x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{9}{4}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{8}{5}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{9x}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{9x}{4}+\frac{53}{6} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

\frac{9x}{4} କୁ -\frac{8x}{5} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{13}{20}x+\frac{53}{6}=\frac{20}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{53}{6} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{13}{20}x=-\frac{13}{6}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{13}{20} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=-\frac{10}{3}$$

y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6} ରେ x ପାଇଁ -\frac{10}{3} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=\frac{9}{4}\left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{53}{6}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{9}{4} କୁ -\frac{10}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=-\frac{15}{2}+\frac{53}{6}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{15}{2} ସହିତ \frac{53}{6} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{4}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{9}{4}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{8}{5}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{8}{5}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&-\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}&\frac{45}{13}\\-\frac{20}{13}&\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{45}{13}\times \frac{20}{3}\\-\frac{20}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{20}{13}\times \frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{9}{4}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{8}{5}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6} ଠାରୁ y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-y-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

-\frac{9x}{4} କୁ \frac{8x}{5} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{20}{3} ସହିତ \frac{53}{6} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{13}{6}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{13}{20} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=-\frac{10}{3}$$

y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} ରେ x ପାଇଁ -\frac{10}{3} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y-\frac{8}{5}\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{20}{3}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{8}{5} କୁ -\frac{10}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{16}{3} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{4}{3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$