{l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 6 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ x-y=\frac{1}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -y^{2}+3x^{2}=6 ରେ x ସ୍ଥାନରେ y+\frac{1}{4} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

ବର୍ଗ y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

3 କୁ y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

-y^{2} କୁ 3y^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1+3\times 1^{2}, b ପାଇଁ 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2, ଏବଂ c ପାଇଁ -\frac{93}{16} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

ବର୍ଗ 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-4 କୁ -1+3\times 1^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-8 କୁ -\frac{93}{16} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{93}{2} ସହିତ \frac{9}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

\frac{195}{4} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

2 କୁ -1+3\times 1^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -\frac{3}{2} କୁ \frac{\sqrt{195}}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -\frac{3}{2} ରୁ \frac{\sqrt{195}}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} ଏବଂ \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. ସମୀକରଣ x=y+\frac{1}{4} ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{-3+\sqrt{195}}{8} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=y+\frac{1}{4} ରେ \frac{-3-\sqrt{195}}{8} ସ୍ଥାନରେ y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$