{l}{x+y=200}{x/9+y/49/200=8/100} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { \frac { \frac { x } { 9 } + \frac { y } { 49 } } { 200 } = \frac { 8 } { 100 } } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{657}{5} = 131\frac{2}{5} = 131.4$$

$$y = \frac{343}{5} = 68\frac{3}{5} = 68.6$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 200 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 200,100 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍‌‌ରେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିଯୋଗ କରିବାକୁ, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ସମାନ କରିବାକୁ ସେଗୁଡିକୁ ବିସ୍ତାରିତ କରନ୍ତୁ. 9 ଏବଂ 49 ର ଲଘିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ ହେଉଛି 441. \frac{x}{9} କୁ \frac{49}{49} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. \frac{y}{49} କୁ \frac{9}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

ଯେହେତୁ \frac{49x}{441} ଏବଂ \frac{9y}{441} ର ସମାନ ହର ରହିଛି, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସେଗୁଡିକ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 8 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 49x+9y ର ପ୍ରତିଟି ପଦକୁ 441 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=200$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-y+200$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -y+200 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}\left(-y+200\right)+\frac{1}{49}y=16$$

\frac{1}{9} କୁ -y+200 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{1}{9}y+\frac{200}{9}+\frac{1}{49}y=16$$

-\frac{y}{9} କୁ \frac{y}{49} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{40}{441}y+\frac{200}{9}=16$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{200}{9} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{40}{441}y=-\frac{56}{9}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{40}{441} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=\frac{343}{5}$$

x=-y+200 ରେ y ପାଇଁ \frac{343}{5} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-\frac{343}{5}+200$$

200 କୁ -\frac{343}{5} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{657}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 200 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 200,100 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍‌‌ରେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିଯୋଗ କରିବାକୁ, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ସମାନ କରିବାକୁ ସେଗୁଡିକୁ ବିସ୍ତାରିତ କରନ୍ତୁ. 9 ଏବଂ 49 ର ଲଘିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ ହେଉଛି 441. \frac{x}{9} କୁ \frac{49}{49} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. \frac{y}{49} କୁ \frac{9}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

ଯେହେତୁ \frac{49x}{441} ଏବଂ \frac{9y}{441} ର ସମାନ ହର ରହିଛି, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସେଗୁଡିକ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 8 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 49x+9y ର ପ୍ରତିଟି ପଦକୁ 441 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{49}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&-\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\\-\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}&\frac{441}{40}\\\frac{49}{40}&-\frac{441}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}\times 200+\frac{441}{40}\times 16\\\frac{49}{40}\times 200-\frac{441}{40}\times 16\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{657}{5}\\\frac{343}{5}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 200 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 200,100 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍‌‌ରେ ଯୋଗ କିମ୍ବା ବିଯୋଗ କରିବାକୁ, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ସମାନ କରିବାକୁ ସେଗୁଡିକୁ ବିସ୍ତାରିତ କରନ୍ତୁ. 9 ଏବଂ 49 ର ଲଘିଷ୍ଟ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ ହେଉଛି 441. \frac{x}{9} କୁ \frac{49}{49} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. \frac{y}{49} କୁ \frac{9}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

ଯେହେତୁ \frac{49x}{441} ଏବଂ \frac{9y}{441} ର ସମାନ ହର ରହିଛି, ସେଗୁଡିକର ହରଗୁଡିକୁ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସେଗୁଡିକ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 8 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 49x+9y ର ପ୍ରତିଟି ପଦକୁ 441 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

x ଏବଂ \frac{x}{9} କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ \frac{1}{9} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}\times 200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9},\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9} ଠାରୁ \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{x}{9} କୁ -\frac{x}{9} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ \frac{x}{9} ଏବଂ -\frac{x}{9} ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{y}{9} କୁ -\frac{y}{49} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{40}{441}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{200}{9} କୁ -16 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{40}{441}y=\frac{56}{9}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{40}{441} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=\frac{343}{5}$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16 ରେ y ପାଇଁ \frac{343}{5} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}\times \frac{343}{5}=16$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{49} କୁ \frac{343}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$\frac{1}{9}x+\frac{7}{5}=16$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{7}{5} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1}{9}x=\frac{73}{5}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 9 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{657}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$