{l}{6x-2y=4}{y=5x+3} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 2 y = 4 } \\ { y = 5 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-5x=3$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y=4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2y ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$6x=2y+4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{6} କୁ 4+2y ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -5x+y=3 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{2+y}{3} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-5\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y=3$$

-5 କୁ \frac{2+y}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}+y=3$$

-\frac{5y}{3} କୁ y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{10}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{19}{3}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{2}{3} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=-\frac{19}{2}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} ରେ y ପାଇଁ -\frac{19}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{19}{2}\right)+\frac{2}{3}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{3} କୁ -\frac{19}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=-\frac{19}{6}+\frac{2}{3}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{19}{6} ସହିତ \frac{2}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=-\frac{5}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-5x=3$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{5}{4}\times 4-\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{19}{2}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-5x=3$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$6x-2y=4,-5x+y=3$$

6x ଏବଂ -5x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-5\times 6x-5\left(-2\right)y=-5\times 4,6\left(-5\right)x+6y=6\times 3$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-30x+10y=-20,-30x+6y=18$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -30x+10y=-20 ଠାରୁ -30x+6y=18 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-30x+30x+10y-6y=-20-18$$

-30x କୁ 30x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -30x ଏବଂ 30x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$10y-6y=-20-18$$

10y କୁ -6y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4y=-20-18$$

-20 କୁ -18 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$4y=-38$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{19}{2}$$

-5x+y=3 ରେ y ପାଇଁ -\frac{19}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-5x-\frac{19}{2}=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{19}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{5}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{19}{2}$$