{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=0$$

$$y=2$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 2x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 କୁ 2y+x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ପାଇବାକୁ -4y ଏବଂ -14y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ପାଇବାକୁ 8x ଏବଂ -7x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -2 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-2x-4-7y=-18$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -18 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-14$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 18y ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=18y-36$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -2x-7y=-14 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -36+18y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-2 କୁ -36+18y ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-36y+72-7y=-14$$

-36y କୁ -7y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-43y+72=-14$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 72 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-43y=-86$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -43 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=2$$

x=18y-36 ରେ y ପାଇଁ 2 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=18\times 2-36$$

18 କୁ 2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=36-36$$

-36 କୁ 36 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=0$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=0,y=2$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 2x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 କୁ 2y+x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ପାଇବାକୁ -4y ଏବଂ -14y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ପାଇବାକୁ 8x ଏବଂ -7x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -2 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-2x-4-7y=-18$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -18 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-14$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=0,y=2$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 4 କୁ 2x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

-7 କୁ 2y+x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-18y ପାଇବାକୁ -4y ଏବଂ -14y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$8x-18y-7x=-36$$

x ପାଇବାକୁ 8x ଏବଂ -7x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x-18y=-36$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. -2 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-2x-4-7y=-18$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-18+4$$

-14 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -18 ଏବଂ 4 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x-7y=-14$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x ଏବଂ -2x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -2x+36y=72 ଠାରୁ -2x-7y=-14 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

-2x କୁ 2x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -2x ଏବଂ 2x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$36y+7y=72+14$$

36y କୁ 7y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$43y=72+14$$

72 କୁ 14 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$43y=86$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 43 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=2$$

-2x-7y=-14 ରେ y ପାଇଁ 2 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-2x-7\times 2=-14$$

-7 କୁ 2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-2x-14=-14$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 14 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-2x=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=0$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=0,y=2$$