{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=1$$

$$y=-1$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 5x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 କୁ 2y+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -6 ଏବଂ 21 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-27-14y=2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 27 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 କୁ 4-9x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 27x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y-23=12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 23 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 12 ଏବଂ 23 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y=35$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 14y ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$15x=14y+29$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} କୁ 14y+29 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 33x-2y=35 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{14y+29}{15} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 କୁ \frac{14y+29}{15} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

\frac{154y}{5} କୁ -2y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{319}{5} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{144}{5} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} ରେ y ପାଇଁ -1 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{14}{15} ସହିତ \frac{29}{15} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=1,y=-1$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 5x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 କୁ 2y+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -6 ଏବଂ 21 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-27-14y=2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 27 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 କୁ 4-9x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 27x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y-23=12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 23 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 12 ଏବଂ 23 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y=35$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=1,y=-1$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 5x-2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7 କୁ 2y+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x-6-14y-21=2$$

-27 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -6 ଏବଂ 21 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-27-14y=2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$15x-14y=2+27$$

29 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 2 ଏବଂ 27 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$15x-14y=29$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 3x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3 କୁ 4-9x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23=12-27x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 27x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$6x-2y-23+27x=12$$

33x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 27x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y-23=12$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 23 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$33x-2y=12+23$$

35 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 12 ଏବଂ 23 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$33x-2y=35$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x ଏବଂ 33x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 33 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 495x-462y=957 ଠାରୁ 495x-30y=525 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

495x କୁ -495x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 495x ଏବଂ -495x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-462y+30y=957-525$$

-462y କୁ 30y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-432y=957-525$$

957 କୁ -525 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-432y=432$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -432 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-1$$

33x-2y=35 ରେ y ପାଇଁ -1 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$33x+2=35$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$33x=33$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 33 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=1,y=-1$$