{l}{20(x-y)=600-500}{40(2y-x)=600-400} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 ( x - y ) = 600 - 500 } \\ { 40 ( 2 y - x ) = 600 - 400 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=15$$

$$y=10$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 20 କୁ x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=600-500$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 500 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 40 କୁ 2y-x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=600-400$$

200 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 400 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=200$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 20y ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$20x=20y+100$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 20 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{20}\left(20y+100\right)$$

\frac{1}{20} କୁ 100+20y ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=y+5$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -40x+80y=200 ରେ x ସ୍ଥାନରେ y+5 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-40\left(y+5\right)+80y=200$$

-40 କୁ y+5 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-40y-200+80y=200$$

-40y କୁ 80y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$40y-200=200$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 200 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$40y=400$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 40 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=10$$

x=y+5 ରେ y ପାଇଁ 10 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=10+5$$

5 କୁ 10 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=15$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=15,y=10$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 20 କୁ x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=600-500$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 500 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 40 କୁ 2y-x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=600-400$$

200 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 400 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=200$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}&-\frac{-20}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}\\-\frac{-40}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}&\frac{20}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 100+\frac{1}{40}\times 200\\\frac{1}{20}\times 100+\frac{1}{40}\times 200\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=15,y=10$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 20 କୁ x-y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=600-500$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 500 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20x-20y=100$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 40 କୁ 2y-x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=600-400$$

200 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 600 ଏବଂ 400 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80y-40x=200$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

20x ଏବଂ -40x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -40 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 20 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-40\times 20x-40\left(-20\right)y=-40\times 100,20\left(-40\right)x+20\times 80y=20\times 200$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-800x+800y=-4000,-800x+1600y=4000$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -800x+800y=-4000 ଠାରୁ -800x+1600y=4000 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-800x+800x+800y-1600y=-4000-4000$$

-800x କୁ 800x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ -800x ଏବଂ 800x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$800y-1600y=-4000-4000$$

800y କୁ -1600y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-800y=-4000-4000$$

-4000 କୁ -4000 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-800y=-8000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -800 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=10$$

-40x+80y=200 ରେ y ପାଇଁ 10 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-40x+80\times 10=200$$

80 କୁ 10 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-40x+800=200$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 800 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-40x=-600$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -40 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=15$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=15,y=10$$