{l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 6x+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2-y=12x+6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 12x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x=6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y ପାଇବାକୁ -y ଏବଂ -y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2-2y-12x=6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=6-2$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+4-3y=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$x-3y=-4$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 12x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-2y=12x+4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

-\frac{1}{2} କୁ 12x+4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-6x-2$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -3y+x=-4 ରେ y ସ୍ଥାନରେ -6x-2 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-3 କୁ -6x-2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$18x+6+x=-4$$

18x କୁ x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$19x+6=-4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$19x=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 19 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{10}{19}$$

y=-6x-2 ରେ x ପାଇଁ -\frac{10}{19} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-6 କୁ -\frac{10}{19} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

-2 କୁ \frac{60}{19} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{22}{19}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 6x+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2-y=12x+6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 12x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x=6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y ପାଇବାକୁ -y ଏବଂ -y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2-2y-12x=6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=6-2$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+4-3y=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$x-3y=-4$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ 6x+3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2-y=12x+6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 12x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x=6+y$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2-y-12x-y=6$$

-2y ପାଇବାକୁ -y ଏବଂ -y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2-2y-12x=6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=6-2$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 2 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-2y-12x=4$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 3y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+4-3y=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$x-3y=-4$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y ଏବଂ -3y କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -3 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 6y+36x=-12 ଠାରୁ 6y-2x=8 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

6y କୁ -6y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 6y ଏବଂ -6y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$36x+2x=-12-8$$

36x କୁ 2x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$38x=-12-8$$

-12 କୁ -8 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$38x=-20$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 38 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{10}{19}$$

-3y+x=-4 ରେ x ପାଇଁ -\frac{10}{19} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{10}{19} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{22}{19}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$