{l}{1530=16x+2y}{817x+110y=77715} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1530 = 16 x + 2 y } \\ { 817 x + 110 y = 77715 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{715}{7} = 102\frac{1}{7} \approx 102.142857143$$

$$y = -\frac{365}{7} = -52\frac{1}{7} \approx -52.142857143$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$16x+2y=1530$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$16x+2y=1530$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$16x=-2y+1530$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 16 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+1530\right)$$

\frac{1}{16} କୁ -2y+1530 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 817x+110y=77715 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-y+765}{8} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$817\left(-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8}\right)+110y=77715$$

817 କୁ \frac{-y+765}{8} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{817}{8}y+\frac{625005}{8}+110y=77715$$

-\frac{817y}{8} କୁ 110y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{63}{8}y+\frac{625005}{8}=77715$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{625005}{8} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{63}{8}y=-\frac{3285}{8}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{63}{8} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=-\frac{365}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{765}{8} ରେ y ପାଇଁ -\frac{365}{7} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-\frac{365}{7}\right)+\frac{765}{8}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{1}{8} କୁ -\frac{365}{7} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=\frac{365}{56}+\frac{765}{8}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{365}{56} ସହିତ \frac{765}{8} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x=\frac{715}{7}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$16x+2y=1530$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\817&110\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{16\times 110-2\times 817}&-\frac{2}{16\times 110-2\times 817}\\-\frac{817}{16\times 110-2\times 817}&\frac{16}{16\times 110-2\times 817}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}&-\frac{1}{63}\\-\frac{817}{126}&\frac{8}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1530\\77715\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{63}\times 1530-\frac{1}{63}\times 77715\\-\frac{817}{126}\times 1530+\frac{8}{63}\times 77715\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{715}{7}\\-\frac{365}{7}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$16x+2y=1530$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$16x+2y=1530,817x+110y=77715$$

16x ଏବଂ 817x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 817 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$817\times 16x+817\times 2y=817\times 1530,16\times 817x+16\times 110y=16\times 77715$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$13072x+1634y=1250010,13072x+1760y=1243440$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 13072x+1634y=1250010 ଠାରୁ 13072x+1760y=1243440 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$13072x-13072x+1634y-1760y=1250010-1243440$$

13072x କୁ -13072x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 13072x ଏବଂ -13072x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$1634y-1760y=1250010-1243440$$

1634y କୁ -1760y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-126y=1250010-1243440$$

1250010 କୁ -1243440 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-126y=6570$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -126 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{365}{7}$$

817x+110y=77715 ରେ y ପାଇଁ -\frac{365}{7} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$817x+110\left(-\frac{365}{7}\right)=77715$$

110 କୁ -\frac{365}{7} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$817x-\frac{40150}{7}=77715$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{40150}{7} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$817x=\frac{584155}{7}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 817 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{715}{7}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=\frac{715}{7},y=-\frac{365}{7}$$