{l}{1200x+1000y=360000}{180x+200y=6000} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1200 x + 1000 y = 360000 } \\ { 180 x + 200 y = 6000 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=1100$$

$$y=-960$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$1200x+1000y=360000,180x+200y=6000$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$1200x+1000y=360000$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1000y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1200x=-1000y+360000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 1200 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1000y+360000\right)$$

\frac{1}{1200} କୁ -1000y+360000 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{5}{6}y+300$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 180x+200y=6000 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -\frac{5y}{6}+300 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$180\left(-\frac{5}{6}y+300\right)+200y=6000$$

180 କୁ -\frac{5y}{6}+300 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-150y+54000+200y=6000$$

-150y କୁ 200y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$50y+54000=6000$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 54000 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$50y=-48000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 50 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-960$$

x=-\frac{5}{6}y+300 ରେ y ପାଇଁ -960 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-960\right)+300$$

-\frac{5}{6} କୁ -960 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=800+300$$

300 କୁ 800 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=1100$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=1100,y=-960$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1200x+1000y=360000,180x+200y=6000$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1000\\180&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{1200\times 200-1000\times 180}&-\frac{1000}{1200\times 200-1000\times 180}\\-\frac{180}{1200\times 200-1000\times 180}&\frac{1200}{1200\times 200-1000\times 180}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{300}&-\frac{1}{60}\\-\frac{3}{1000}&\frac{1}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360000\\6000\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{300}\times 360000-\frac{1}{60}\times 6000\\-\frac{3}{1000}\times 360000+\frac{1}{50}\times 6000\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1100\\-960\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=1100,y=-960$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$1200x+1000y=360000,180x+200y=6000$$

1200x ଏବଂ 180x କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 180 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 1200 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$180\times 1200x+180\times 1000y=180\times 360000,1200\times 180x+1200\times 200y=1200\times 6000$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$216000x+180000y=64800000,216000x+240000y=7200000$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 216000x+180000y=64800000 ଠାରୁ 216000x+240000y=7200000 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$216000x-216000x+180000y-240000y=64800000-7200000$$

216000x କୁ -216000x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 216000x ଏବଂ -216000x ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$180000y-240000y=64800000-7200000$$

180000y କୁ -240000y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-60000y=64800000-7200000$$

64800000 କୁ -7200000 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-60000y=57600000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -60000 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-960$$

180x+200y=6000 ରେ y ପାଇଁ -960 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$180x+200\left(-960\right)=6000$$

200 କୁ -960 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$180x-192000=6000$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 192000 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$180x=198000$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 180 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=1100$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=1100,y=-960$$