{l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

a, b ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ a କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା a ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 କୁ b-2013 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026 କୁ 2012 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a-2b+6038=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6038 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a-2b=-6035$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2b ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=2b-6035$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5 ରେ a ସ୍ଥାନରେ 2b-6035 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

-6035 କୁ 2012 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 କୁ 2b-4023 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

4 କୁ b-2013 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

6b କୁ 4b ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$10b-12069-8052=5$$

-12069 କୁ -8052 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$10b-20121=5$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 20121 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$10b=20126$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{10063}{5}$$

a=2b-6035 ରେ b ପାଇଁ \frac{10063}{5} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ a ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

2 କୁ \frac{10063}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

-6035 କୁ \frac{20126}{5} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

ଏହାକୁ ମାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣକୁ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 କୁ b-2013 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026 କୁ 2012 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a-2b+6038=3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6038 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a-2b=-6035$$

ଏହାକୁ ମାନାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀରେ ରଖିବା ପାଇଁ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣକୁ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 କୁ a+2012 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

4 କୁ b-2013 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

6036 କୁ -8052 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3a+4b-2016=5$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 2016 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$3a+4b=2021$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ a ଏବଂ b ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$