∫ x(2+x^2)^2 wrt x କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(2+x^{2}\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 4 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

x କୁ 4+4x^{2}+x^{4} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

ସମଷ୍ଟିକୁ ପଦରେ ପଦ ଏକତ୍ର କରନ୍ତୁ

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ।

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{2}}{2}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 4 କୁ \frac{x^{2}}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{3}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{4}}{4}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 4 କୁ \frac{x^{4}}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{5}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{6}}{6}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ।

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

ଯଦି F\left(x\right), f\left(x\right)ର ଏକ ଆଣ୍ଟିଡେରିଭେଟିଭ୍‌ ଅଟେ, ତେବେ f\left(x\right)ର ସମସ୍ତ ଆଣ୍ଟିଡେରିଭେଟିଭ୍‌ F\left(x\right)+C ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି। ତେଣୁ ଫଳାଫଳରେ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍‍‌ର ସ୍ଥିରାଙ୍କ C\in \mathrm{R}କୁ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ।

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

w.r.t. x ର ପ୍ରଭେଦ ଦର୍ଶାନ୍ତୁ

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$