∫ (from 2 to 3) of (1/2x-1/2)^2-(x-2) wrt x କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\int _ { 2 } ^ { 3 } ( \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - ( x - 2 ) d x$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\frac{1}{12}\approx 0.083333333$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int _{2}^{3}\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\left(x-2\right)\mathrm{d}x$$

x-2 ର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦର ବିପରୀତ ଖୋଜି ପାଆନ୍ତୁ.

$$\int _{2}^{3}\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-x+2\mathrm{d}x$$

-\frac{3}{2}x ପାଇବାକୁ -\frac{1}{2}x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$\int _{2}^{3}\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}+2\mathrm{d}x$$

\frac{9}{4} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{4} ଏବଂ 2 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\int _{2}^{3}\frac{1}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ପ୍ରଥମେ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍‍‌ର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରନ୍ତୁ।

$$\int \frac{x^{2}}{4}-\frac{3x}{2}+\frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ସମଷ୍ଟିକୁ ପଦରେ ପଦ ଏକତ୍ର କରନ୍ତୁ

$$\int \frac{x^{2}}{4}\mathrm{d}x+\int -\frac{3x}{2}\mathrm{d}x+\int \frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ।

$$\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{4}-\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int \frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{2}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{3}}{3}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। \frac{1}{4} କୁ \frac{x^{3}}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{3}}{12}-\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int \frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{2}}{2}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। -\frac{3}{2} କୁ \frac{x^{2}}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{3}}{12}-\frac{3x^{2}}{4}+\int \frac{9}{4}\mathrm{d}x$$

ସାଧାରଣ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍‍‌ ନିୟମର ସାରଣୀ \int a\mathrm{d}x=ax ବ୍ୟବହାର କରି \frac{9}{4}ର ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍ ଖୋଜନ୍ତୁ।

$$\frac{x^{3}}{12}-\frac{3x^{2}}{4}+\frac{9x}{4}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$\frac{9x}{4}-\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{12}$$

ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳ, ପ୍ରତିଅବକଳଜର ଏପରି ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଯାହା ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍‍‌ର ଉଚ୍ଚତର ସୀମା ବିଯୁକ୍ତ ନିମ୍ନତର ସୀମାରେ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କିତ କରାଯାଇଛି।

$$\frac{9}{4}\times 3-\frac{3}{4}\times 3^{2}+\frac{3^{3}}{12}-\left(\frac{9}{4}\times 2-\frac{3}{4}\times 2^{2}+\frac{2^{3}}{12}\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$\frac{1}{12}$$