∫ (from 1 to 2) of (x^2-1)^3x wrt x କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } x d x$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\frac{81}{8}=10.125$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(x^{2}-1\right)^{3} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{2}\right)^{3}-3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}-1\right)x\mathrm{d}x$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 6 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 3 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}-3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}-1\right)x\mathrm{d}x$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 4 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1\right)x\mathrm{d}x$$

x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1 କୁ x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int _{1}^{2}x^{7}-3x^{5}+3x^{3}-x\mathrm{d}x$$

ପ୍ରଥମେ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍‍‌ର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରନ୍ତୁ।

$$\int x^{7}-3x^{5}+3x^{3}-x\mathrm{d}x$$

ସମଷ୍ଟିକୁ ପଦରେ ପଦ ଏକତ୍ର କରନ୍ତୁ

$$\int x^{7}\mathrm{d}x+\int -3x^{5}\mathrm{d}x+\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ।

$$\int x^{7}\mathrm{d}x-3\int x^{5}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{7}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{8}}{8}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ।

$$\frac{x^{8}}{8}-3\int x^{5}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{5}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{6}}{6}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। -3 କୁ \frac{x^{6}}{6} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{8}}{8}-\frac{x^{6}}{2}+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{3}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{4}}{4}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 3 କୁ \frac{x^{4}}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{8}}{8}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{3x^{4}}{4}-\int x\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{2}}{2}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। -1 କୁ \frac{x^{2}}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{8}}{8}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{8}}{8}$$

ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳ, ପ୍ରତିଅବକଳଜର ଏପରି ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଯାହା ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍‍‌ର ଉଚ୍ଚତର ସୀମା ବିଯୁକ୍ତ ନିମ୍ନତର ସୀମାରେ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କିତ କରାଯାଇଛି।

$$-\frac{2^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 2^{4}-\frac{2^{6}}{2}+\frac{2^{8}}{8}-\left(-\frac{1^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 1^{4}-\frac{1^{6}}{2}+\frac{1^{8}}{8}\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$\frac{81}{8}$$