∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$1$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମେ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍‍‌ର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରନ୍ତୁ।

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

ସମଷ୍ଟିକୁ ପଦରେ ପଦ ଏକତ୍ର କରନ୍ତୁ

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ।

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

ସାଧାରଣ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍‍‌ ନିୟମର ସାରଣୀ \int a\mathrm{d}v=av ବ୍ୟବହାର କରି 1ର ଇଣ୍ଟିଗ୍ରାଲ୍ ଖୋଜନ୍ତୁ।

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int v^{3}\mathrm{d}vକୁ \frac{v^{4}}{4}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। -8 କୁ \frac{v^{4}}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int v^{7}\mathrm{d}vକୁ \frac{v^{8}}{8}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 16 କୁ \frac{v^{8}}{8} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳ, ପ୍ରତିଅବକଳଜର ଏପରି ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଯାହା ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍‍‌ର ଉଚ୍ଚତର ସୀମା ବିଯୁକ୍ତ ନିମ୍ନତର ସୀମାରେ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କିତ କରାଯାଇଛି।

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$1$$