∫ 3x^2(x^3+6)^3 wrt x=? କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\int 3 x ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 6 ) ^ { 3 } d x = ?$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\frac{x^{12}}{4}+6x^{9}+54x^{6}+216x^{3}+С$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(x^{3}+6\right)^{3} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int 3x^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{3}+18\left(x^{3}\right)^{2}+108x^{3}+216\right)\mathrm{d}x$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 9 ପାଇବାକୁ 3 ଏବଂ 3 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\int 3x^{2}\left(x^{9}+18\left(x^{3}\right)^{2}+108x^{3}+216\right)\mathrm{d}x$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 6 ପାଇବାକୁ 3 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\int 3x^{2}\left(x^{9}+18x^{6}+108x^{3}+216\right)\mathrm{d}x$$

3x^{2} କୁ x^{9}+18x^{6}+108x^{3}+216 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\int 3x^{11}+54x^{8}+324x^{5}+648x^{2}\mathrm{d}x$$

ସମଷ୍ଟିକୁ ପଦରେ ପଦ ଏକତ୍ର କରନ୍ତୁ

$$\int 3x^{11}\mathrm{d}x+\int 54x^{8}\mathrm{d}x+\int 324x^{5}\mathrm{d}x+\int 648x^{2}\mathrm{d}x$$

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ।

$$3\int x^{11}\mathrm{d}x+54\int x^{8}\mathrm{d}x+324\int x^{5}\mathrm{d}x+648\int x^{2}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{11}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{12}}{12}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 3 କୁ \frac{x^{12}}{12} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{12}}{4}+54\int x^{8}\mathrm{d}x+324\int x^{5}\mathrm{d}x+648\int x^{2}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{8}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{9}}{9}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 54 କୁ \frac{x^{9}}{9} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{12}}{4}+6x^{9}+324\int x^{5}\mathrm{d}x+648\int x^{2}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{5}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{6}}{6}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 324 କୁ \frac{x^{6}}{6} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{12}}{4}+6x^{9}+54x^{6}+648\int x^{2}\mathrm{d}x$$

ଯେହେତୁ k\neq -1 ପାଇଁ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}, ତେଣୁ \int x^{2}\mathrm{d}xକୁ \frac{x^{3}}{3}ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରନ୍ତୁ। 648 କୁ \frac{x^{3}}{3} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{12}}{4}+6x^{9}+54x^{6}+216x^{3}$$

ଯଦି F\left(x\right), f\left(x\right)ର ଏକ ଆଣ୍ଟିଡେରିଭେଟିଭ୍‌ ଅଟେ, ତେବେ f\left(x\right)ର ସମସ୍ତ ଆଣ୍ଟିଡେରିଭେଟିଭ୍‌ F\left(x\right)+C ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି। ତେଣୁ ଫଳାଫଳରେ ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍‍‌ର ସ୍ଥିରାଙ୍କ C\in \mathrm{R}କୁ ଯୋଗ କରନ୍ତୁ।

$$216x^{3}+54x^{6}+6x^{9}+\frac{x^{12}}{4}+С$$

w.r.t. x ର ପ୍ରଭେଦ ଦର୍ଶାନ୍ତୁ

$$3x^{2}\left(x^{3}+6\right)^{3}$$