x^2-1/5=sqrt{x}+1 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac{ { x }^{ 2 } -1 }{ 5 } = \sqrt{ x } +1$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$x=4$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}\approx -2.5-1.658312395i$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{2}-1}{5}-1=\sqrt{x}$$

ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-1-5=5\sqrt{x}$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-6=5\sqrt{x}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-6\right)^{2}=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

\left(x^{2}-6\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-12x^{2}+36=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 4 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ \left(5\sqrt{x}\right)^{2}.

$$x^{4}-12x^{2}+36=5^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

2 ର 5 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 25 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=25\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{x} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=25x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36-25x=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ସମୀକରଣକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ଟର୍ମ୍‌‌‌ଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}-25x+36=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ 36 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 1କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=1$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. x^{3}+x^{2}-11x-36 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x^{4}-12x^{2}-25x+36 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x^{3}+x^{2}-11x-36=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ -36 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 1କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=4$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. x^{2}+5x+9 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x^{3}+x^{2}-11x-36 କୁ x-4 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x^{2}+5x+9=0$$

ଫର୍ମ ax^{2}+bx+c=0 ଠାରୁ ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲା ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 5, ଏବଂ c ପାଇଁ 9 କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲାରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

ହିସାବଗୁଡିକ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-11}}{2}$$

± ଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ଏବଂ ± ବିଯୁକ୍ତ ଥିବା ବେଳେ ସମୀକରଣ x^{2}+5x+9=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2} x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}$$

ମିଳିଥିବା ସମସ୍ତ ସମାଧାନର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ.

$$x=1 x=4 x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2} x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ 1 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1^{2}-1}{5}=\sqrt{1}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. x=1 ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ.

$$0=2$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ 4 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{4^{2}-1}{5}=\sqrt{4}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=4 ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$3=3$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-\sqrt{11}i-5}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}\right)^{2}-1}{5}=\sqrt{\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2} ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 11^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 11^{\frac{1}{2}}$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-5+\sqrt{11}i}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{\left(\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}\right)^{2}-1}{5}=\sqrt{\frac{-5+\sqrt{11}i}{2}}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. x=\frac{-5+\sqrt{11}i}{2} ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ.

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 11^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\times 11^{\frac{1}{2}}$$

x^{2}-6=5\sqrt{x} ର ସମସ୍ତ ସମାଧାନ ତାଲିକା.

$$x=4 x=\frac{-\sqrt{11}i-5}{2}$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=4$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{x^{2}-1}{5}-1=\sqrt{x}$$

ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-1-5=5\sqrt{x}$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-6=5\sqrt{x}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର୍ଅ ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}-6\right)^{2}=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

\left(x^{2}-6\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-12x^{2}+36=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

ଏକ ସଂଖ୍ୟାର ପାୱାର୍‌ ଅନ୍ୟ ଏକ ପାୱାର୍‌କୁ ବୃଦ୍ଧି କରିବାକୁ, ଘାତାଙ୍କଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. 4 ପାଇବାକୁ 2 ଏବଂ 2 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=\left(5\sqrt{x}\right)^{2}$$

ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ \left(5\sqrt{x}\right)^{2}.

$$x^{4}-12x^{2}+36=5^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

2 ର 5 ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ 25 ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=25\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

2 ର \sqrt{x} ପାୱାର୍‌ ହିସାବ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପ୍ରାପ୍ତ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36=25x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}+36-25x=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ସମୀକରଣକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ଟର୍ମ୍‌‌‌ଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$x^{4}-12x^{2}-25x+36=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ 36 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 1କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=1$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. x^{3}+x^{2}-11x-36 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x^{4}-12x^{2}-25x+36 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x^{3}+x^{2}-11x-36=0$$

ପରିମେୟ ମୂଳ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା, ଏକ ପଲିନୋମିଆଲର ସମସ୍ତ ରେସନାଲ ରୁଟ୍‌ଗୁଡିକ\frac{p}{q} ରୂପରେ ରହିଛି, ଯେଉଁଠାରେ p କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ ଟର୍ମ୍‌ -36 କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ ଏବଂ q ଅଗ୍ରଣୀ ଗୁଣାଙ୍କ 1କୁ ବିଭାଜିତ କରିଥାଏ. ସମସ୍ତ ପ୍ରାର୍ଥୀଙ୍କୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ \frac{p}{q}.

$$±36,±18,±12,±9,±6,±4,±3,±2,±1$$

ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ମୂଲ୍ୟ ଚେଷ୍ଟା କରି ଏହିଭଳି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ପାଆନ୍ତୁ, ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ମୂଲ୍ୟରୁ ପ୍ରାରମ୍ଭ କରି. ଯଦି କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍‌ ବର୍ଗ ମିଳେନାହିଁ, ଭଗ୍ନାଂଶ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ.

$$x=4$$

ଗୁଣନୀୟକ ଥିଓରମ୍‌ ଦ୍ୱାରା, x-k ହେଉଛି ପ୍ରତିଟି ରୁଟ୍‌ k ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲର ଏକ ଫ୍ୟାକ୍ଟର ଅଟେ. x^{2}+5x+9 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x^{3}+x^{2}-11x-36 କୁ x-4 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ସେହି ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଠାରେ ଫଳାଫଳ 0 ସହ ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x^{2}+5x+9=0$$

ଫର୍ମ ax^{2}+bx+c=0 ଠାରୁ ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲା ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 5, ଏବଂ c ପାଇଁ 9 କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ଫର୍ମୁଲାରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

ହିସାବଗୁଡିକ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-11}}{2}$$

ଯଦିଓ ଏକ ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାର ଚତୁର୍ଭୁଜ ମୂଳ ପ୍ରକୃତ କ୍ଷେତରେ ନ୍ୟସ୍ତ ହୋଇନାହିଁ, କୌଣସି ସମାଧାନ ନାହିଁ.

$$x\in \emptyset$$

ମିଳିଥିବା ସମସ୍ତ ସମାଧାନର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ.

$$x=1 x=4$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ 1 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{1^{2}-1}{5}=\sqrt{1}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. x=1 ମୂଲ୍ୟ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ.

$$0=2$$

ସମୀକରଣ \frac{x^{2}-1}{5}=\sqrt{x}+1 ରେ x ସ୍ଥାନରେ 4 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{4^{2}-1}{5}=\sqrt{4}+1$$

ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ. ମୂଲ୍ୟ x=4 ସମୀକରଣ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିଛି.

$$3=3$$

ସମୀକରଣ x^{2}-6=5\sqrt{x} ଏକ ସ୍ଵତନ୍ତ୍ର ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=4$$