x/x+1+x+1/x=13/6 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-3$$

$$x=2$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -1,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x\left(x+1\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x+1,x,6 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

6x+6 କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ 6x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

13x କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ 12x^{2} ଏବଂ -13x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -13x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-x+6=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -x^{2}+ax+bx+6 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -6 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-6 2,-3$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -1 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=2 b=-3$$

\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right) ଭାବରେ -x^{2}-x+6 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 3 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+2 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+2=0 ଏବଂ x+3=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-3$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -1,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x\left(x+1\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x+1,x,6 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

6x+6 କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ 6x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

13x କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ 12x^{2} ଏବଂ -13x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -13x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-x+6=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1, b ପାଇଁ -1, ଏବଂ c ପାଇଁ 6 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

-4 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

4 କୁ 6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

1 କୁ 24 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

25 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

-1 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{1±5}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 1 କୁ 5 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{1±5}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 1 ରୁ 5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-3 x=2$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -1,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x\left(x+1\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x+1,x,6 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

6x+6 କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

12x^{2} ପାଇବାକୁ 6x^{2} ଏବଂ 6x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

13x କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

-x^{2} ପାଇବାକୁ 12x^{2} ଏବଂ -13x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 13x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

-x ପାଇବାକୁ 12x ଏବଂ -13x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-x+6=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-x^{2}-x=-6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

-1 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

-6 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x=6$$

\frac{1}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 1 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

6 କୁ \frac{1}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+x+\frac{1}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{1}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-3$$