x/5+5/x=41/4 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { x } { 5 } + \frac { 5 } { x } = 4 \frac { 1 } { 4 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$x=20$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 20x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 5,x,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 20 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

17 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 1 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

85 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 17 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=85x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 85x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$4x^{2}-85x+100=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ 4x^{2}+ax+bx+100 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-85 ab=4\times 100=400$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 400 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -85 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-80 b=-5$$

\left(4x^{2}-80x\right)+\left(-5x+100\right) ଭାବରେ 4x^{2}-85x+100 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(4x^{2}-80x\right)+\left(-5x+100\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 4x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ -5 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$4x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ x-20 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(x-20\right)\left(4x-5\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, x-20=0 ଏବଂ 4x-5=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 20x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 5,x,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 20 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

17 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 1 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

85 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 17 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=85x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 85x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$4x^{2}-85x+100=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 4, b ପାଇଁ -85, ଏବଂ c ପାଇଁ 100 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{\left(-85\right)^{2}-4\times 4\times 100}}{2\times 4}$$

ବର୍ଗ -85.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-4\times 4\times 100}}{2\times 4}$$

-4 କୁ 4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-16\times 100}}{2\times 4}$$

-16 କୁ 100 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-1600}}{2\times 4}$$

7225 କୁ -1600 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{5625}}{2\times 4}$$

5625 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±75}{2\times 4}$$

-85 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 85.

$$x=\frac{85±75}{2\times 4}$$

2 କୁ 4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{85±75}{8}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{85±75}{8} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 85 କୁ 75 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{160}{8}$$

160 କୁ 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=20$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{85±75}{8} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 85 ରୁ 75 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{10}{8}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{10}{8} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{5}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 20x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 5,x,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

100 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 20 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

17 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 1 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

85 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 5 ଏବଂ 17 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100=85x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 85x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 100 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$4x^{2}-85x=-100$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{4x^{2}-85x}{4}=-\frac{100}{4}$$

4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା 4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x=-\frac{100}{4}$$

-100 କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x=-25$$

-\frac{85}{8} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{85}{4} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{85}{8} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\left(-\frac{85}{8}\right)^{2}=-25+\left(-\frac{85}{8}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{85}{8} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}=-25+\frac{7225}{64}$$

-25 କୁ \frac{7225}{64} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}=\frac{5625}{64}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{85}{8}\right)^{2}=\frac{5625}{64}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{85}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5625}{64}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{85}{8}=\frac{75}{8} x-\frac{85}{8}=-\frac{75}{8}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{85}{8} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$