x/3+12/x=5(x-1)/2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { x } { 3 } + \frac { 12 } { x } = \frac { 5 ( x - 1 ) } { 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$x=3$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,x,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2xx+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

72 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 12 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=3x\times 5\left(x-1\right)$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x\left(x-1\right)$$

15x କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x^{2}-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72-15x^{2}=-15x$$

-13x^{2} ପାଇବାକୁ 2x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72=-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 15x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72+15x=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+15x+72=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -13x^{2}+ax+bx+72 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=15 ab=-13\times 72=-936$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -936 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,936 -2,468 -3,312 -4,234 -6,156 -8,117 -9,104 -12,78 -13,72 -18,52 -24,39 -26,36$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+936=935 -2+468=466 -3+312=309 -4+234=230 -6+156=150 -8+117=109 -9+104=95 -12+78=66 -13+72=59 -18+52=34 -24+39=15 -26+36=10$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 15 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=39 b=-24$$

\left(-13x^{2}+39x\right)+\left(-24x+72\right) ଭାବରେ -13x^{2}+15x+72 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-13x^{2}+39x\right)+\left(-24x+72\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 13x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 24 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$13x\left(-x+3\right)+24\left(-x+3\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+3 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+3\right)\left(13x+24\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+3=0 ଏବଂ 13x+24=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3 x=-\frac{24}{13}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,x,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2xx+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

72 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 12 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=3x\times 5\left(x-1\right)$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x\left(x-1\right)$$

15x କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x^{2}-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72-15x^{2}=-15x$$

-13x^{2} ପାଇବାକୁ 2x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72=-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 15x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72+15x=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-13x^{2}+15x+72=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -13, b ପାଇଁ 15, ଏବଂ c ପାଇଁ 72 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\left(-13\right)\times 72}}{2\left(-13\right)}$$

ବର୍ଗ 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\left(-13\right)\times 72}}{2\left(-13\right)}$$

-4 କୁ -13 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+52\times 72}}{2\left(-13\right)}$$

52 କୁ 72 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+3744}}{2\left(-13\right)}$$

225 କୁ 3744 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±\sqrt{3969}}{2\left(-13\right)}$$

3969 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±63}{2\left(-13\right)}$$

2 କୁ -13 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-15±63}{-26}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-15±63}{-26} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -15 କୁ 63 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{48}{-26}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{48}{-26} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{24}{13}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-15±63}{-26} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -15 ରୁ 63 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{78}{-26}$$

-78 କୁ -26 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=3$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{24}{13} x=3$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 0 ସହ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 3,x,2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$2xx+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

x^{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ x ଏବଂ x ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+6\times 12=3x\times 5\left(x-1\right)$$

72 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 6 ଏବଂ 12 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=3x\times 5\left(x-1\right)$$

15 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 3 ଏବଂ 5 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x\left(x-1\right)$$

15x କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72=15x^{2}-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x^{2}+72-15x^{2}=-15x$$

-13x^{2} ପାଇବାକୁ 2x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72=-15x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 15x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-13x^{2}+72+15x=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 72 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-13x^{2}+15x=-72$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -13 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-13x^{2}+15x}{-13}=-\frac{72}{-13}$$

-13 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -13 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{15}{-13}x=-\frac{72}{-13}$$

15 କୁ -13 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{15}{13}x=-\frac{72}{-13}$$

-72 କୁ -13 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{15}{13}x=\frac{72}{13}$$

-\frac{15}{26} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{15}{13} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{15}{26} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{15}{13}x+\left(-\frac{15}{26}\right)^{2}=\frac{72}{13}+\left(-\frac{15}{26}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{15}{26} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{15}{13}x+\frac{225}{676}=\frac{72}{13}+\frac{225}{676}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{225}{676} ସହିତ \frac{72}{13} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{15}{13}x+\frac{225}{676}=\frac{3969}{676}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{15}{13}x+\frac{225}{676}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{15}{26}\right)^{2}=\frac{3969}{676}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3969}{676}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{15}{26}=\frac{63}{26} x-\frac{15}{26}=-\frac{63}{26}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{15}{26} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=3 x=-\frac{24}{13}$$