x^2+6x-7/3x^2-x-2=5 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{2}{3},1 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(x-1\right)\left(3x+2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

5 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

5x-5 କୁ 3x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

-14x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

11x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 10 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

3 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -7 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -14x^{2}+ax+bx+3 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -42 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 11 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=14 b=-3$$

\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right) ଭାବରେ -14x^{2}+11x+3 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 14x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 3 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+1 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+1=0 ଏବଂ 14x+3=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 1 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{14}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{2}{3},1 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(x-1\right)\left(3x+2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

5 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

5x-5 କୁ 3x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

-14x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

11x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 10 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

3 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -7 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -14, b ପାଇଁ 11, ଏବଂ c ପାଇଁ 3 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

ବର୍ଗ 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

-4 କୁ -14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

56 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

121 କୁ 168 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

289 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

2 କୁ -14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-11±17}{-28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -11 କୁ 17 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{6}{-28}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{6}{-28} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{3}{14}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-11±17}{-28} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -11 ରୁ 17 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

-28 କୁ -28 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=1$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 1 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{14}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -\frac{2}{3},1 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \left(x-1\right)\left(3x+2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

5 କୁ x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

5x-5 କୁ 3x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

-14x^{2} ପାଇବାକୁ x^{2} ଏବଂ -15x^{2} ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

11x ପାଇବାକୁ 6x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 7 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

-3 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -10 ଏବଂ 7 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

-14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -14 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

11 କୁ -14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

-3 କୁ -14 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

-\frac{11}{28} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{11}{14} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{11}{28} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{11}{28} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{121}{784} ସହିତ \frac{3}{14} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{11}{28} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 1 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{14}$$