75/x=75/x+15+1/4 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-75$$

$$x=60$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -15,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4x\left(x+15\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x+15,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60 କୁ 75 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 75 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ \frac{1}{4} ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x କୁ x+15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ 15x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 315x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ -315x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -x^{2}+ax+bx+4500 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -4500 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -15 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=60 b=-75$$

\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right) ଭାବରେ -x^{2}-15x+4500 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 75 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+60 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+60=0 ଏବଂ x+75=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=60 x=-75$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -15,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4x\left(x+15\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x+15,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60 କୁ 75 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 75 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ \frac{1}{4} ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x କୁ x+15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ 15x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 315x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ -315x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1, b ପାଇଁ -15, ଏବଂ c ପାଇଁ 4500 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

ବର୍ଗ -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-4 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4 କୁ 4500 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

225 କୁ 18000 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

18225 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{15±135}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 15 କୁ 135 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{150}{-2}$$

150 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-75$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{15±135}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 15 ରୁ 135 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=60$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-75 x=60$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -15,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4x\left(x+15\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x+15,4 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60 କୁ 75 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 75 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ \frac{1}{4} ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x କୁ x+15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ 15x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 315x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15x ପାଇବାକୁ 300x ଏବଂ -315x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500=x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4500 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-15 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-4500 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+15x=4500$$

\frac{15}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 15 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{15}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{15}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

4500 କୁ \frac{225}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+15x+\frac{225}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{15}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=60 x=-75$$