18/x-46/x-5=1 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { 18 } { x } - \frac { 46 } { x - 5 } = 1$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-18$$

$$x=-5$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,5 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x-5 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-5\right)\times 18-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x-5 କୁ 18 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x କୁ x-5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x^{2}-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}=-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}+5x=0$$

23x ପାଇବାକୁ 18x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-90-x\times 46-x^{2}=0$$

-46 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 46 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-90-46x-x^{2}=0$$

-23x ପାଇବାକୁ 23x ଏବଂ -46x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-23x-90-x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-x^{2}-23x-90=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -x^{2}+ax+bx-90 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-23 ab=-\left(-90\right)=90$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 90 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,-90 -2,-45 -3,-30 -5,-18 -6,-15 -9,-10$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1-90=-91 -2-45=-47 -3-30=-33 -5-18=-23 -6-15=-21 -9-10=-19$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -23 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-5 b=-18$$

\left(-x^{2}-5x\right)+\left(-18x-90\right) ଭାବରେ -x^{2}-23x-90 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-x^{2}-5x\right)+\left(-18x-90\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 18 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x\left(-x-5\right)+18\left(-x-5\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x-5 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x-5\right)\left(x+18\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x-5=0 ଏବଂ x+18=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-5 x=-18$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,5 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x-5 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-5\right)\times 18-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x-5 କୁ 18 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x କୁ x-5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x^{2}-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}=-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}+5x=0$$

23x ପାଇବାକୁ 18x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-90-x\times 46-x^{2}=0$$

-46 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 46 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-90-46x-x^{2}=0$$

-23x ପାଇବାକୁ 23x ଏବଂ -46x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-23x-90-x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-x^{2}-23x-90=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -1, b ପାଇଁ -23, ଏବଂ c ପାଇଁ -90 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

ବର୍ଗ -23.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 କୁ -90 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-360}}{2\left(-1\right)}$$

529 କୁ -360 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

169 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

-23 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 23.

$$x=\frac{23±13}{2\left(-1\right)}$$

2 କୁ -1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{23±13}{-2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{23±13}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 23 କୁ 13 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{36}{-2}$$

36 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-18$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{23±13}{-2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 23 ରୁ 13 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{10}{-2}$$

10 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-5$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-18 x=-5$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,5 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x-5 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-5\right)\times 18-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x-5 କୁ 18 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x\left(x-5\right)$$

x କୁ x-5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46=x^{2}-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}=-5x$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 5x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$18x-90-x\times 46-x^{2}+5x=0$$

23x ପାଇବାକୁ 18x ଏବଂ 5x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-90-x\times 46-x^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 90 ଯୋଡନ୍ତୁ. ଯାହାକିଛି ସହିତ ଶୂନ୍ୟ ଯୋଗ ହେଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ମିଳିଥାଏ.

$$23x-x\times 46-x^{2}=90$$

-46 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1 ଏବଂ 46 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$23x-46x-x^{2}=90$$

-23x ପାଇବାକୁ 23x ଏବଂ -46x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-23x-x^{2}=90$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-x^{2}-23x=90$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-x^{2}-23x}{-1}=\frac{90}{-1}$$

-1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\left(-\frac{23}{-1}\right)x=\frac{90}{-1}$$

-23 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+23x=\frac{90}{-1}$$

90 କୁ -1 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+23x=-90$$

\frac{23}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 23 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{23}{2} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+23x+\left(\frac{23}{2}\right)^{2}=-90+\left(\frac{23}{2}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{23}{2} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}+23x+\frac{529}{4}=-90+\frac{529}{4}$$

-90 କୁ \frac{529}{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}+23x+\frac{529}{4}=\frac{169}{4}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}+23x+\frac{529}{4}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x+\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x+\frac{23}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{23}{2}=-\frac{13}{2}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{23}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-5 x=-18$$