1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -2,\frac{1}{3} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

3x-1 କୁ 16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53x ପାଇବାକୁ 5x ଏବଂ 48x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 16 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

5 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10 କୁ 3x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28x ପାଇବାକୁ 53x ଏବଂ -25x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 10 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -6 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -15x^{2}+ax+bx+4 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -60 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 28 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=30 b=-2$$

\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right) ଭାବରେ -15x^{2}+28x+4 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 15x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 2 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+2 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+2=0 ଏବଂ 15x+2=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -2,\frac{1}{3} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

3x-1 କୁ 16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53x ପାଇବାକୁ 5x ଏବଂ 48x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 16 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

5 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10 କୁ 3x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28x ପାଇବାକୁ 53x ଏବଂ -25x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 10 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -6 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -15, b ପାଇଁ 28, ଏବଂ c ପାଇଁ 4 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

ବର୍ଗ 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

-4 କୁ -15 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

60 କୁ 4 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

784 କୁ 240 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

1024 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

2 କୁ -15 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-28±32}{-30} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -28 କୁ 32 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{4}{-30}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{4}{-30} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2}{15}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-28±32}{-30} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -28 ରୁ 32 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

-60 କୁ -30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -2,\frac{1}{3} ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

3x-1 କୁ 16 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53x ପାଇବାକୁ 5x ଏବଂ 48x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 10 ଏବଂ 16 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

5 କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10 କୁ 3x-1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 15x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 25x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28x ପାଇବାକୁ 53x ଏବଂ -25x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 6 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

-4 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -10 ଏବଂ 6 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$28x-15x^{2}=-4$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

-15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -15 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

28 କୁ -15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

-4 କୁ -15 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

-\frac{14}{15} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{28}{15} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{14}{15} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{14}{15} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{196}{225} ସହିତ \frac{4}{15} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{14}{15} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$