Los z^6-z^3+1=0 op

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Oplossen voor z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Vervang t voor z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 1, b door -1 en c door 1 in de kwadratische formule.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

De vergelijking t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Sinds z=t^{3} worden de oplossingen verkregen door de vergelijking voor elke t te verhelpen.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$