Los f(x)=x^5-5x^4+12x^3-24x^2+32x-16 op

$$f ( x ) = x ^ { 5 } - 5 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } + 32 x - 16$$

Factoriseren

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)$$

Oplossingsstappen

Als u de expressie wilt ontbinden in factoren, lost u de vergelijking op waarbij de expressie gelijk is aan 0.

$$x^{5}-5x^{4}+12x^{3}-24x^{2}+32x-16=0$$

Volgens de stelling over rationale wortels hebben alle rationale wortels van een polynoom de vorm \frac{p}{q}, waarbij p de constante term -16 deelt en q de leidende coëfficiënt 1 deelt. Alle kandidaten \frac{p}{q} weergeven.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Zoek één wortel door alle gehele getallen te proberen, van de kleinste waarde naar de absolute waarde. Als er geen gehele getallen zijn gevonden, probeert u breuken.

$$x=1$$

Met factor Theorem is x-k een factor van de polynoom voor elke hoofd k. Deel x^{5}-5x^{4}+12x^{3}-24x^{2}+32x-16 door x-1 om x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16 te krijgen. Als u het resultaat wilt ontbinden in factoren, lost u de vergelijking op waarbij het resultaat gelijk is aan 0.

$$x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16=0$$

Volgens de stelling over rationale wortels hebben alle rationale wortels van een polynoom de vorm \frac{p}{q}, waarbij p de constante term 16 deelt en q de leidende coëfficiënt 1 deelt. Alle kandidaten \frac{p}{q} weergeven.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

Zoek één wortel door alle gehele getallen te proberen, van de kleinste waarde naar de absolute waarde. Als er geen gehele getallen zijn gevonden, probeert u breuken.

$$x=2$$

Met factor Theorem is x-k een factor van de polynoom voor elke hoofd k. Deel x^{4}-4x^{3}+8x^{2}-16x+16 door x-2 om x^{3}-2x^{2}+4x-8 te krijgen. Als u het resultaat wilt ontbinden in factoren, lost u de vergelijking op waarbij het resultaat gelijk is aan 0.

$$x^{3}-2x^{2}+4x-8=0$$

Volgens de stelling over rationale wortels hebben alle rationale wortels van een polynoom de vorm \frac{p}{q}, waarbij p de constante term -8 deelt en q de leidende coëfficiënt 1 deelt. Alle kandidaten \frac{p}{q} weergeven.

$$±8,±4,±2,±1$$

Zoek één wortel door alle gehele getallen te proberen, van de kleinste waarde naar de absolute waarde. Als er geen gehele getallen zijn gevonden, probeert u breuken.

$$x=2$$

Met factor Theorem is x-k een factor van de polynoom voor elke hoofd k. Deel x^{3}-2x^{2}+4x-8 door x-2 om x^{2}+4 te krijgen. Als u het resultaat wilt ontbinden in factoren, lost u de vergelijking op waarbij het resultaat gelijk is aan 0.

$$x^{2}+4=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 1, b door 0 en c door 4 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Polynoom x^{2}+4 is niet gefactoriseerd omdat deze geen rationale wortels heeft.

$$x^{2}+4$$

Herschrijf de gefactoriseerde expressie met behulp van de verkregen roots.

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)$$

Evalueren

$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)^{2}\left(x^{2}+4\right)$$