Los f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt op

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

Evalueren

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{3}\mathrm{d}t door \frac{t^{4}}{4}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{2}\mathrm{d}t door \frac{t^{3}}{3}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 2 met \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

De integraal van 1 zoeken met behulp van de tabel met algemene integralen regel \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Vereenvoudig.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Differentieer ten opzichte van x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$