Los f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt op

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Evalueren

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{2}\mathrm{d}t door \frac{t^{3}}{3}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Vervang \int t\mathrm{d}t door \frac{t^{2}}{2}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -1 met \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Vereenvoudig.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Differentieer ten opzichte van x

$$x\left(x-1\right)$$