Oplossen voor x, y (complex solution)
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,
Oplossen voor x, y
\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,
Grafiek
Delen
Gekopieerd naar klembord
ax+3y=15,3x+by=4d
Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.
ax+3y=15
Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.
ax=-3y+15
Trek aan beide kanten van de vergelijking 3y af.
x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)
Deel beide zijden van de vergelijking door a.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}
Vermenigvuldig \frac{1}{a} met -3y+15.
3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d
Substitueer \frac{3\left(5-y\right)}{a} voor x in de andere vergelijking: 3x+by=4d.
\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d
Vermenigvuldig 3 met \frac{3\left(5-y\right)}{a}.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d
Tel -\frac{9y}{a} op bij by.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{45}{a} af.
y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Deel beide zijden van de vergelijking door b-\frac{9}{a}.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}
Vervang \frac{4da-45}{ba-9} door y in x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}
Vermenigvuldig -\frac{3}{a} met \frac{4da-45}{ba-9}.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}
Tel \frac{15}{a} op bij -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Het systeem is nu opgelost.
ax+3y=15,3x+by=4d
Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Schrijf de vergelijkingen als matrices.
inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Herleid de matrixelementen x en y.
ax+3y=15,3x+by=4d
Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.
3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d
Als u ax en 3x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 3 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met a.
3ax+9y=45,3ax+aby=4ad
Vereenvoudig.
3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
Trek 3ax+aby=4ad af van 3ax+9y=45 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.
9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
Tel 3ax op bij -3ax. De termen 3ax en -3ax worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.
\left(9-ab\right)y=45-4ad
Tel 9y op bij -aby.
y=\frac{45-4ad}{9-ab}
Deel beide zijden van de vergelijking door 9-ab.
3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d
Vervang \frac{45-4ad}{9-ab} door y in 3x+by=4d. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d
Vermenigvuldig b met \frac{45-4ad}{9-ab}.
3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} af.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}
Deel beide zijden van de vergelijking door 3.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}
Het systeem is nu opgelost.
ax+3y=15,3x+by=4d
Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.
ax+3y=15
Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.
ax=-3y+15
Trek aan beide kanten van de vergelijking 3y af.
x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)
Deel beide zijden van de vergelijking door a.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}
Vermenigvuldig \frac{1}{a} met -3y+15.
3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d
Substitueer \frac{3\left(5-y\right)}{a} voor x in de andere vergelijking: 3x+by=4d.
\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d
Vermenigvuldig 3 met \frac{3\left(5-y\right)}{a}.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d
Tel -\frac{9y}{a} op bij by.
\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{45}{a} af.
y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Deel beide zijden van de vergelijking door b-\frac{9}{a}.
x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}
Vervang \frac{4da-45}{ba-9} door y in x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}
Vermenigvuldig -\frac{3}{a} met \frac{4da-45}{ba-9}.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}
Tel \frac{15}{a} op bij -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Het systeem is nu opgelost.
ax+3y=15,3x+by=4d
Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.
\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Schrijf de vergelijkingen als matrices.
inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}
Herleid de matrixelementen x en y.
ax+3y=15,3x+by=4d
Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.
3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d
Als u ax en 3x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 3 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met a.
3ax+9y=45,3ax+aby=4ad
Vereenvoudig.
3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
Trek 3ax+aby=4ad af van 3ax+9y=45 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.
9y+\left(-ab\right)y=45-4ad
Tel 3ax op bij -3ax. De termen 3ax en -3ax worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.
\left(9-ab\right)y=45-4ad
Tel 9y op bij -aby.
y=\frac{45-4ad}{9-ab}
Deel beide zijden van de vergelijking door 9-ab.
3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d
Vervang \frac{45-4ad}{9-ab} door y in 3x+by=4d. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d
Vermenigvuldig b met \frac{45-4ad}{9-ab}.
3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} af.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}
Deel beide zijden van de vergelijking door 3.
x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}
Het systeem is nu opgelost.
Voorbeelden
Vierkantsvergelijking
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineaire vergelijking
y = 3x + 4
Rekenen
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Stelselvergelijking
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differentiëren
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integreren
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limieten
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}