Los 81x^2+180x+100 op

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Factoriseren

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Oplossingsstappen

Factoriseer de expressie door te groeperen. De expressie moet eerst worden herschreven als 81x^{2}+ax+bx+100. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Omdat ab positief is, a en b hetzelfde teken. Omdat a+b positief is, zijn a en b positief. Alle paren met gehele getallen die een product 8100 geven weergeven.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Bereken de som voor elk paar.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

De oplossing is het paar dat de som 180 geeft.

$$a=90 b=90$$

Herschrijf 81x^{2}+180x+100 als \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Factoriseer 9x in de eerste en 10 in de tweede groep.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term 9x+10 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Herschrijf als een tweetermige wortel.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Stappen die gebruikmaken van de wortel van de tweeterm

Deze drieterm heeft de vorm van een kwadratische vergelijking, eventueel vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke factor. Kwadratische vergelijkingen kunnen worden gefactoriseerd door de vierkantswortels te berekenen van de eerste en laatste termen.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Bepaal de grootste gemene deler van de coëfficiënten.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Bereken de vierkantswortel van de eerste term: 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Bereken de vierkantswortel van de laatste term: 100.

$$\sqrt{100}=10$$

De kwadratische vergelijking is de wortel van de tweeterm die de som is van of het verschil tussen de vierkantswortels van de eerste en laatste term, waarbij het teken wordt bepaald door de middelste term van de kwadratische vergelijking.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Bereken de wortel van 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Vermenigvuldig -4 met 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Vermenigvuldig -324 met 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Tel 32400 op bij -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Bereken de vierkantswortel van 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Vermenigvuldig 2 met 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Factoriseer de oorspronkelijke expressie met behulp van ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Vervang x_{1} door -\frac{10}{9} en x_{2} door -\frac{10}{9}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Vereenvoudig alle uitdrukkingen in de formule p-\left(-q\right) naar p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Tel \frac{10}{9} op bij x door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Tel \frac{10}{9} op bij x door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Vermenigvuldig \frac{9x+10}{9} met \frac{9x+10}{9} door teller maal teller en noemer maal noemer te vermenigvuldigen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Vermenigvuldig 9 met 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Streep de grootste gemene deler 81 in 81 en 81 tegen elkaar weg.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Evalueren

$$\left(9x+10\right)^{2}$$