Los 42x^2-5x-3=0 op

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Oplossen voor x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Stappen bij factorisering door te groeperen

Als u de vergelijking wilt oplossen, verdeelt u de linker-en rechterkant van de groepering. De eerste, de linkerzijde moet worden herschreven als 42x^{2}+ax+bx-3. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Omdat ab negatief is, a en b de tegenovergestelde tekens. Omdat a+b negatief is, heeft het negatieve getal een grotere absolute waarde dan de positieve. Alle paren met gehele getallen die een product -126 geven weergeven.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Bereken de som voor elk paar.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

De oplossing is het paar dat de som -5 geeft.

$$a=-14 b=9$$

Herschrijf 42x^{2}-5x-3 als \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Beledigt 14x in de eerste en 3 in de tweede groep.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term 3x-1 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Als u oplossingen voor vergelijkingen zoekt, lost u 3x-1=0 en 14x+3=0 op.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 42 voor a, -5 voor b en -3 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Bereken de wortel van -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vermenigvuldig -4 met 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vermenigvuldig -168 met -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Tel 25 op bij 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Bereken de vierkantswortel van 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Het tegenovergestelde van -5 is 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Vermenigvuldig 2 met 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{5±23}{84} op als ± positief is. Tel 5 op bij 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{28}{84} tot de kleinste termen door 28 af te trekken en weg te strepen.

$$x=\frac{1}{3}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{5±23}{84} op als ± negatief is. Trek 23 af van 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-18}{84} tot de kleinste termen door 6 af te trekken en weg te strepen.

$$x=-\frac{3}{14}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 3 op.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Als u -3 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Trek -3 af van 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Delen door 42 maakt de vermenigvuldiging met 42 ongedaan.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{3}{42} tot de kleinste termen door 3 af te trekken en weg te strepen.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Deel -\frac{5}{42}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{5}{84} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{5}{84} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{5}{84} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Tel \frac{1}{14} op bij \frac{25}{7056} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Factoriseer x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{5}{84} op.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$