Los 3z^2+3z+20=0 op

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

Oplossen voor z

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+2,533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-2,533114026i$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 3 voor a, 3 voor b en 20 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Bereken de wortel van 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig -4 met 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig -12 met 20.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

Tel 9 op bij -240.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

Bereken de vierkantswortel van -231.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig 2 met 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

Los nu de vergelijking z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} op als ± positief is. Tel -3 op bij i\sqrt{231}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

Deel -3+i\sqrt{231} door 6.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Los nu de vergelijking z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} op als ± negatief is. Trek i\sqrt{231} af van -3.

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

Deel -3-i\sqrt{231} door 6.

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 20 af.

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

Als u 20 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$3z^{2}+3z=-20$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 3.

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

Delen door 3 maakt de vermenigvuldiging met 3 ongedaan.

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

Deel 3 door 3.

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

Deel 1, de coëfficiënt van de x term door 2 om \frac{1}{2} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van \frac{1}{2} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van \frac{1}{2} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

Tel -\frac{20}{3} op bij \frac{1}{4} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

Factoriseer z^{2}+z+\frac{1}{4}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

Vereenvoudig.

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{2} af.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$