Los 3x^2+2x+1=0 op

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Oplossen voor x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 3 voor a, 2 voor b en 1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Bereken de wortel van 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig -4 met 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Tel 4 op bij -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Bereken de vierkantswortel van -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig 2 met 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} op als ± positief is. Tel -2 op bij 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Deel -2+2i\sqrt{2} door 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} op als ± negatief is. Trek 2i\sqrt{2} af van -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Deel -2-2i\sqrt{2} door 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 1 af.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Als u 1 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Delen door 3 maakt de vermenigvuldiging met 3 ongedaan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Deel \frac{2}{3}, de coëfficiënt van de x term door 2 om \frac{1}{3} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van \frac{1}{3} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van \frac{1}{3} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Tel -\frac{1}{3} op bij \frac{1}{9} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Factoriseer x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Vereenvoudig.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{3} af.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$